P1040 加分二叉树（C++_树形DP）

题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：1个整数n(n<30)，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<100）。

输出格式

第1行：1个整数，为最高加分（Ans ≤ 4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

输入输出样例

输入 #1

5
5 7 1 2 10

输出 #1

145
3 1 2 4 5

反思

这道题其实对我来说是真的有点难了<普及+/提高>， 这是一道典型的树形DP问题，而我在此之前其实并未接触过此类问题，所以拿到题的时候是无从下手。
现在说说这道题的做法，首先不要拘泥于树到底长什么样子，因为它不重要，只需要知道在这段数组别中树的根节点是什么，它的左右子树又是什么（其实根节点确定的话左右子树也就确定了），接下来就是dp求出所有子树中得分最高的划分方法，保证每个小子树最高， 并把每个小子树的根节点记录下来最后递归即前序遍历。

源码

代码是参考dalao的，我自己稍微改了下，注释是我看懂后自己写的（几乎每行都有注释）

#include
using namespace std;
int n, f[30][30], root[30][30], score = 0;

void print(long long l, long long r)//输出前序遍历
{
	if (l > r)
		return;
	cout << root[l][r]<<" ";//从最大的树的根开始输出，因为前序遍历是(根->左->右)
	if (l == r)
		return;
	print(l, root[l][r] - 1);//分治左子树
	print(root[l][r] + 1, r);//分治右子树
}
int main()
{
	cin >> n;//节点数
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> f[i][i];//输入当前节点分值
		root[i][i] = i;//初始化root(只有一个i节点的子树的根节点就是自己啊)
	}
	for (int len = 1; len < n; ++len)//子树的长度（节点数）
	{
		for (int i = 1; i + len <= n; i++)//间接改变j的值（即树的大小），也定下了区间右侧的值
		{
			int j = i + len;//定义树的最右边的节点，也就是区间左侧
			f[i][j] = f[i + 1][j] + f[i][i];//默认左子树为空，即根节点为i
			root[i][j] = i;//i~j的树的根为i
			for (int k = i + 1; k <= j; ++k)//枚举根节点，当子树中根的位置改变时分值也会变
			{
				if (f[i][j] < f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k])//以k为根时子树的分值
				{
					f[i][j] = f[i][k - 1] * f[k + 1][j] + f[k][k];//根据题意取最大值
					root[i][j] = k;//更新i~j的子树的根节点
				}
			}
		}
	}
	cout << f[1][n] << endl;//输出以k为根节点的整个树的分数
	print(1, n);//输出前序遍历
	return 0;
}