摔玻璃球(鸡蛋)查找临界楼层(再续)

关于临界楼层查找问题，我已经在先前的两篇博客摔玻璃球(鸡蛋)查找临界楼层和摔玻璃球(鸡蛋)查找临界楼层(后续)中讲得很清楚了，LeetCode中也有相同题目——鸡蛋掉落，本文将对其官方题解的方法一和方法二进行解读。

首先定义变量和函数，玻璃球(鸡蛋)个数$N$，查找楼层数$F$，最大查找次数$T$，当前查找楼层$X$，当$N$和$F$确定时需要的最大查找次数
$T$($N$,$F$)。

方法一利用了动态规划思想，状态转移方程如下：

              $T(N,F)=1+\underset{1\le X\le F}{\min }(max(T(N-1,X-1),T(N,F-X)))$

              $T(1,F)=F$,  $T(N,0)=0$

方法二与方法一思想一致，只不过是利用了决策单调性对方法一进行了优化。

状态转移方程中包含2个函数：$T1$($X$)=$T$($N$-$1$, $X$-$1$)，$T2$($X$)=$T$($N$, $F$-$X$)。$T1$随着$X$的增加而单调递增，$T2$随着$X$的增加而单调递减。官方题解中的$T1$, $T2$函数图像如图1所示，但是仅凭这个示意图，读者恐怕很难想象实际当中的函数图像应当是什么样子，更无法参照图像去模拟方法一和方法二的解题过程。因此，本文将以$N$=3, $F$=8为例，可视化$T1$, $T2$的实际函数图像，然后结合图像与代码对方法二进行详细解读。
                        图1. LeetCode-$T1$, $T2$函数图像

方法一的Python代码实现：

def superEggDrop(N, F):
    T = {}
    def dp(n, f):
        if (n, f) not in T:
            if f == 0:
                ans = 0
            elif n == 1:
                ans = f
            else:
                low, high = 1, f
                while low + 1 < high:
                    x = (low + high) // 2
                    t1 = dp(n-1, x-1)
                    t2 = dp(n, f-x)
                    if t1 < t2:
                        low = x
                    elif t1 > t2:
                        high = x
                    else:
                        low = high = x
                ans = 1 + min(max(dp(n-1, x-1), dp(n, f-x)) for x in (low, high))
            T[n, f] = ans
        return T[n, f]
    return dp(N, F)

方法二的Python代码实现：

def superEggDrop(N, F):
    T = [[0]*(F+1) for _ in range(N+1)]
    for i in range(F+1):
        T[1][i] = i
    for n in range(2, N+1):
        x = 1
        for f in range(1, F+1):
            while x < f and max(T[n-1][x-1], T[n][f-x]) >= max(T[n-1][x], T[n][f-x-1]):
                x += 1
            T[n][f] = 1 + max(T[n-1][x-1], T[n][f-x])
    return T[N][F]

根据方法一或方法二的代码可得$N$=3, $F$=8时的$T$($N$, $F$)函数数值对照表，如表1所示。其中$N$=1和$F$=0的情况属于初始条件，函数值无需计算，而$N$=2或3, $F$>0的情况则需通过状态转移方程对函数值进行求解。

根据方法一的思路及表1可得$T1$和$T2$的函数图像，如图2($N$=2)和图3($N$=3)所示。$T1$与$F$无关，因此其图像为1条折线；$T2$与$F$有关，当$F$增加时，$T2$在每个整数点上都是单调递增的，因此其图像为1组折线。参照图2和图3即可模拟方法一的解题过程。

方法二由于利用了决策单调性，对于$T2$函数的某一条折线，不必计算$X$的全部取值所对应的函数值，因此其对应的函数图像为方法一对应图像的局部图，如图4($N$=2)和图5($N$=3)所示。参照图4和图5即可模拟方法二的解题过程。

                        表1. $T$($N$, $F$)函数数值对照表

N \ F	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	1	2	2	3	3	3	4	4
3	0	1	2	2	3	3	3	3	4

         图2. $N$=2时的$T1$, $T2$函数图像                  图3. $N$=3时的$T1$, $T2$函数图像         图4. $N$=2时的$T1$, $T2$函数图像(局部)              图5. $N$=3时的$T1$, $T2$函数图像(局部)

下面截取方法二代码运行过程中的一个片段，并结合图4中的函数图像对方法二进行解读：

	伪代码	注释
1	N=2, F=3, X=2	一共有2个鸡蛋，3层楼，当前查找楼层为第2层
2	condition1: X	保证楼层数非负。若condition1成立，则顺序执行；若不成立，则跳转到第11行，计算T(2,3)的值
3	T1(2)=T(1,1)=1	若鸡蛋在第2层摔碎，则只剩1个鸡蛋，需要查找下方1个楼层，最大查找次数为1
4	T2(2)=T(2,1)=1	若鸡蛋在第2层没有摔碎，则仍有2个鸡蛋，需要查找上方1个楼层，最大查找次数为1
5	Tmax1=max(T1(2), T2(2))=1	若从第2层开始查找，其上方或下方楼层在最坏情况下的最大查找次数为1
6	T1(3)=T(1,2)=2	假设当前查找楼层为第3层。若鸡蛋在第3层摔碎，则只剩1个鸡蛋，需要查找下方2个楼层，最大查找次数为2
7	T2(3)=T(2,0)=0	若鸡蛋在第3层没有摔碎，则仍有2个鸡蛋，需要查找上方0个楼层，最大查找次数为0
8	Tmax2=max(T1(3), T2(3))=2	若从第3层开始查找，其上方或下方楼层在最坏情况下的最大查找次数为2
9	condition2: Tmax1≥Tmax2	判断第3层上下方楼层在最坏情况下的最大查找次数是否大于第2层的情况。 若是即condition2不成立，则跳转到第11行，计算T(2,3)的值；若否即condition2成立，则顺序执行
10	X+=1	当前查找楼层更新为第3层，然后跳转到第2行继续执行
11	T(2,3)=1+max(T1(2),T2(2))=1+1=2	从第2层开始查找，其上下方楼层在最坏情况下的最大查找次数最小，再加上在第2层的1次查找， 结果即为2个鸡蛋查找3层楼的最大查找次数的最优解