【蓝桥杯】历届试题 最大子阵（C++）

问题描述

题目链接：最大子阵
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问题描述
　　给定一个n*m的矩阵A，求A中的一个非空子矩阵，使这个子矩阵中的元素和最大。
　　其中，A的子矩阵指在A中行和列均连续的一块。
输入格式
　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示矩阵A的行数和列数。
　　接下来n行，每行m个整数，表示矩阵A。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，表示A中最大的子矩阵中的元素和。

样例输入
3 3
-1 -4 3
3 4 -1
-5 -2 8

样例输出
10

样例说明 　　
取最后一列，和为10。
数据规模和约定 　　
对于50%的数据，1<=n, m<=50； 　　
对于100%的数据，1<=n, m<=500，A中每个元素的绝对值不超过5000。

解题思路

求最大子阵的元素和，可以将几行数据合为一行，每次比较每一行的各列数据之和与当前列值的大小，如果每一行的各列数据之和大于当前列的值，则将其赋给tmp，比较tmp与maxsum的大小，将maxsum更新为较大的值，并将tmp作为相加后的操作，继续将后面的列加上来，并进行比较；如果当前列数值较大，则将其值赋给tmp，比较tmp与maxsum的大小，将maxsum更新为较大的值，继续之后的操作。

对于题中的例子，sum[]用来存储每列的和，当输入第一行数据为-1，-4，3时，sum存储的为：

sum	1	2	3
	-1	-4	3

然后将第一行的每列数据进行相加并与当前列进行比较。此时， 初始化maxsum=-INF，tmp=0；
第一步：
⑴加上第一列数据-1时，更新为maxsum=-1，tmp=-1；
⑵加上第二列数据-4，由于tmp+sum[2]= -1 + -4 =-5 < sum[2] =-4，因此tmp=sum[2]=-4，maxsum=-1；
⑶加上第三列数据3，更新为tmp=-1，maxsum=3；
第二步：将sum加上第二行数据3，4，-1，sum更新为：

sum	1	2	3
	2	0	2

按照第一行数据依次类推，枚举全部的合并列并进行比较求出最大子阵的元素和，即maxsum的值最大。

参考：【蓝桥杯】历届试题 最大子阵
历届试题 最大子阵

具体代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[505][505],sum[505];//a存储原始数据，sum存储每一行的列数和 

int main()
{
	int n,m;
	int maxsum=-INF;//最大子阵元素和 
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		memset(sum, 0, sizeof(sum));//要加，不然会出错 
		for(int i=k;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				sum[j]+=a[i][j];//统计每一列的和 
			}
			int tmp=0;
			for(int j=1;j<=m;j++)
			{
				if(tmp+sum[j]<sum[j])
					tmp=sum[j];
				else
					tmp=tmp+sum[j];
				maxsum=max(tmp,maxsum);
			}
		}
	}
	printf("%d",maxsum);
	return 0;
}