生成函数(母函数)——目前最全的讲解

生成函数(母函数)

什么是生成函数：wiki上的介绍

在数学中，某个序列$(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 的母函数（又称生成函数，英语：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

母函数，又称生成函数，是ACM竞赛中经常使用的一种解题算法，常用来解决组合方面的题目。

生成函数的定义：$g(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+...$称$g(x)$是序列$a_0,a_1,a_2,...$的生成函数。

小题

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一、

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

我们用母函数来解决这个问题

1个1克砝码可以看成1+x^1,1表示不取，x^1表示取一个，以下同理
1个2克砝码可以看成1+x^2
1个3克砝码可以看成1+x^3
1个4克砝码可以看成1+x^4

那么生成函数就是

$$\begin{gathered} g(x)=(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4) \\ =1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^{10} \end{gathered}$$

这个函数中可以看出重量为3克的方案有两种，重量为7的方案有两种，重量为10的有1种。

不难发现指数表示重量，系数表示方案数。

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二、

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

那么生成函数就是$g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)$

以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

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三、

设有n个标志为1,2,…,n的网袋，第i个(i=1,2,…n)网袋里放有ni个球。不同网袋里的球是不同的，而同一网袋里的球则是没有差别的，认为是相同的。询问从中取r个球的方案数。

设生成函数$g(x)=(1+x^1+x^2+...+x^{n1})(1+x^1+x^2+...+x^{n2})...$

最后指数为r的那一项的系数就是方案数。

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总结一下，生成函数大多用来解决有限或无限物体的组合方案。

给出通用模板，其实就是暴力拆这个函数罢了。

#include
using namespace std;
int N,g[2][125];
int main(){
	while(~scanf("%d",&N)){
		for(int i=0;i<=N;++i) g[1][i]=1,g[0][i]=0;
		for(int i=2;i<=N;++i){
			for(int j=0;j<=N;++j)
			for(int k=0;k<=N-j;k+=i) g[i&1][j+k]+=g[1-(i&1)][j];
			for(int j=0;j<=N;++j) g[1-(i&1)][j]=0;
		}
		printf("%d\n",g[N&1][N]);
	}
	return 0;
}

以上是一些基础，接下来给一道难题（反正我一点也不会，逃）：BZOJ4001

不会也没有关系，我们慢慢来。

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特殊情况

当$a=\{1,1,1,1,...\}$时$f(x)=1+x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}$

这又是为什么呢？

我们发现$f(x)$是一个等比数列

又因为$x\in (-1,1)$

所以当$n\to \infty$时，$\frac{1-x^n}{1-x}$中，$x^n\to 0$，所以$f(x)=1+x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}$

同理$f‘(x)=1+2x+3x^2+4x^3+...=\frac{1}{(1-x{)}^2}=(\frac{1}{1-x}{)}^2=f^2(x)$

$f‘‘(x)=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4...=\frac{1}{(1-x{)}^3}=f^3(x)$

推广$\frac{1}{(1-x{)}^k}={\sum }_i^{\infty }{C}_{i+k-1}^{k-1}{x}^i=f^k(x)$

用组合数学中的所谓“隔板法”求一下，第$i$项的系数就是$C_{i+k-1}^{k-1}$

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斐波那契通项公式

下面我们用生成函数求斐波那契数列的通项公式：

首先$f(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...$

将$f(x)$乘上个$x$，然后相减

$f(x)-x\ast f(x)=(x+x^2+2x^3+3x^4+...)-(x^2+x^3+2x^4+3x^5+...)=x+x^3+x^4+2x^5+3x^6=x+x^{2}f(x)$

解$f(x)$得$f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$

然后如何还原成序列呢？

先因式分解

$\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)}$

用裂项法$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$得

$$\begin{gathered} \frac{x}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x)} \\ =\frac{1}{(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x)((1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+(-\sqrt{5}x))}x \\ =\frac{1}{-\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}-\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}) \\ =-\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}+\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x} \end{gathered}$$

把他分裂成等比数列的形式。

$a_n=-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n+\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n$

这就是斐波那契数列通项公式。

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终于写完了，接下来就是多刷例题训练了。

HDU1028

HDU1085

洛谷P2000

BZOJ3028