编程中十大常用算法:(六)普里姆算法(最小生成树)

背景

修路问题:
编程中十大常用算法:(六)普里姆算法(最小生成树)_第1张图片
(1)有七个村庄(A-G),现需要修路把7个村庄连通
(2)各个村庄的距离用边线(权值)表示,例如村庄A到村庄B的距离为5公里
求:
如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?

解决方法:
最小生成树

最小生成树

修路问题本质就是最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree, MST)问题,给定一个带权的无向连通图,如何选取一个生成树,使树上所有边上权值的总和最小,这就叫最小生成树。
求解最小生成树的算法主要有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法

普里姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,且其所有边的权值之和亦为最小。
算法流程:

(1)设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,其中V,U是顶点集合,E,D是边的集合
(2)若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记集合V的visited[u]=1
(3)若集合U中顶点ui与集合V中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1.
(4)重复步骤2,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边

代码实现(Java):



package com.zq.prim;

 

import java.util.Arrays;

 

class MGraph{

  int verxs;//图的节点个数

  char[] data;//存放节点数据

  int[][] weight;//存放边

  

  public MGraph(int verxs) {

     // TODO Auto-generated
constructor stub

     this.verxs=verxs;

     data=new char[verxs];

     weight=new int[verxs][verxs];

  }

  

}

 

//创建最小生成树

class MinTree{

  //创建图的邻接矩阵

  public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight) {

     int i,j;

     for(i=0;i<verxs;i++) {

       graph.data[i]=data[i];

       for(j=0;j<verxs;j++) {

         graph.weight[i][j]=weight[i][j];

       }

     }

  }

  

  //显示图的邻接矩阵

  public void showGraph(MGraph graph) {

     for (int[] link:graph.weight) {

      System.out.println(Arrays.toString(link));

     }

  }

  

  //编写prim算法,得到最小生成树

  public void prim(MGraph graph,int v) {

     int[] visited=new int[graph.verxs]; 
//标记顶点是否被访问过;默认值为0,表示没有访问过

     visited[v]=1; //标记当前顶点已经访问

     //h1和h2记录两个顶点的下标

     int h1=-1;

     int h2=-1;

     int minWeight=10000;

     int totalCost=0;

     for(int k=1;k<graph.verxs;k++) {

       for(int i=0;i<graph.verxs;i++) {// i结点表示被访问过的结点

          for(int j=0;j<graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点

            if (visited[i]==1 && visited[j]==0 && graph.weight[i][j]<minWeight) {

              minWeight=graph.weight[i][j];

               h1=i;

               h2=j;

            }

          }

       }

       //找到最小的边

       System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+">权值:"+minWeight);

       totalCost+=minWeight;

       visited[h2]=1;

       minWeight=10000;

     }

     System.out.println("总里程最小为:"+totalCost);

     

     

  }

}

public class Prim {

  public static void main(String[] args) {

     char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

     int verxs = data.length;

     //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数,表示两个点不联通

     int [][]weight=new int[][]{

            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},

            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},

            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},

            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},

            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},

            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},

            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};

            

        //创建MGraph对象

        MGraph graph = new MGraph(verxs);

        //创建一个MinTree对象

        MinTree minTree = new MinTree();

        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);

        //输出

        minTree.showGraph(graph);

        //测试普里姆算法

        minTree.prim(graph, 0);

  }

  

}

 

测试结果:

编程中十大常用算法:(六)普里姆算法(最小生成树)_第2张图片
参考文献:
1.韩顺平-图解java数据结构和算法

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