编程中十大常用算法：（六）普里姆算法（最小生成树）
背景
修路问题：
（1）有七个村庄（A-G），现需要修路把7个村庄连通
（2）各个村庄的距离用边线（权值）表示，例如村庄A到村庄B的距离为5公里
求：
如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短？
解决方法：
最小生成树
最小生成树
修路问题本质就是最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree, MST）问题，给定一个带权的无向连通图，如何选取一个生成树，使树上所有边上权值的总和最小，这就叫最小生成树。
求解最小生成树的算法主要有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法
普里姆（Prim）算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有（n-1）条边包含所有n个顶点的连通子图，且其所有边的权值之和亦为最小。
算法流程：
（1）设G=（V,E）是连通网，T=（U,D）是最小生成树，其中V,U是顶点集合，E,D是边的集合
（2）若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记集合V的visited[u]=1
（3）若集合U中顶点ui与集合V中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui，vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1.
（4）重复步骤2，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
代码实现（Java）：
package com.zq.prim;
import java.util.Arrays;
class MGraph{
int verxs;//图的节点个数
char[] data;//存放节点数据
int[][] weight;//存放边
public MGraph(int verxs) {
// TODO Auto-generated
constructor stub
this.verxs=verxs;
data=new char[verxs];
weight=new int[verxs][verxs];
}
}
//创建最小生成树
class MinTree{
//创建图的邻接矩阵
public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight) {
int i,j;
for(i=0;i<verxs;i++) {
graph.data[i]=data[i];
for(j=0;j<verxs;j++) {
graph.weight[i][j]=weight[i][j];
}
}
}
//显示图的邻接矩阵
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link:graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写prim算法，得到最小生成树
public void prim(MGraph graph,int v) {
int[] visited=new int[graph.verxs];
//标记顶点是否被访问过；默认值为0，表示没有访问过
visited[v]=1; //标记当前顶点已经访问
//h1和h2记录两个顶点的下标
int h1=-1;
int h2=-1;
int minWeight=10000;
int totalCost=0;
for(int k=1;k<graph.verxs;k++) {
for(int i=0;i<graph.verxs;i++) {// i结点表示被访问过的结点
for(int j=0;j<graph.verxs;j++) {//j结点表示还没有访问过的结点
if (visited[i]==1 && visited[j]==0 && graph.weight[i][j]<minWeight) {
minWeight=graph.weight[i][j];
h1=i;
h2=j;
}
}
}
//找到最小的边
System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+">权值："+minWeight);
totalCost+=minWeight;
visited[h2]=1;
minWeight=10000;
}
System.out.println("总里程最小为："+totalCost);
}
}
public class Prim {
public static void main(String[] args) {
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
int [][]weight=new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000},};
//创建MGraph对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
//创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
//输出
minTree.showGraph(graph);
//测试普里姆算法
minTree.prim(graph, 0);
}
}
测试结果：
参考文献：
1.韩顺平-图解java数据结构和算法