[图] 总结 - 存储结构|遍历|最小代价生成树|最短路径|AOV|AOE|拓展问题（考试记忆版）

1 图

2 基础概念

【网】边上带有权的图成为带权图，也称网

概念组	无向图	有向图
【完全图】任意两点都有边	【无向完全图】具有$n(n-1)/2$条边的无向图	【有向完全图】具有$n(n-1)$条边的有向图
【连通】两点有路径	【连通图】任意两点有路 【连通分量】即极大连通子图	【强连通图】任意两点AB，A到B、B到A都有路 【强连通分量】即极大强连通子图
【极小】 1. 当前子图中两两已连通 2. 目前边最少，再添加一条边，就会构成一个环（讨论生成树）	【极小连通子图】连通图的生成树 1. 同一个连通图的生成树不唯一 2. 极小连通子图只存在于连通图中	不存在【极小强连通子图】
【极大】不能再大（讨论连通分量的）	【极大连通子图】 - 【连通图】只有一个极大连通子图，就是它本身 -【非连通图】有多个极大连通子图	【极大强连通子图】 - 【强连通图】只有一个极大强连通子图，它本身 - 【非强连通图】有多个极大强连通子图

2 存储结构

存储结构	图解	定义
邻接矩阵
邻接表
有向图的十字链表
无向图的邻接多重表

2 遍历（邻接表示例）

遍历	递归	非递归
DFS O(n+e)
BFS O(n+e)

【BFS时间复杂度】算法主体为一个双重循环，基本操作有两个：顶点进队；边访问。最坏情况为遍历图中的所有顶点后才找到通路，此时所有顶点都进队一次，所有边都被访问一次，因此总次数为n+e，即O(n+e)

1 （无向连通图的）最小代价生成树

【无向连通图的生成树】删除边–>①只剩下n-1条边；②任意两点还是连通的
【最小生成树】一个无向连通图的生成树有很多，边权重之和最小的那一棵
【什么时候无向连通图的最小生成树是唯一的？】①所有边的权重不同；②边相同，但只有n-1条边
【最小生成森林】针对非连通图而言，删除边，将图变成一对多的关系

	Prim普利姆	Kruskal克鲁斯卡尔
思想	①以顶点为操作对象，每次选择一个顶点并入子图； ②顶点的选择依据：子图到其他顶点的最短路径	①以边为操作的主要单位：每次并入一条边； ②选择边的依据：当前最小边，且不构成回路
数据结构	①子图vest[i]：结点i是否已并入生成树； ②lowcost[i]：结点i到子树的最短边权重	①Road：存储图的所有边 ②用并查集检查是否构成回边
适合	稠密图（时间复杂度与顶点有关系，与边数没有关系）	稀疏图（时间复杂度由边数决定）
时间复杂度	$O(n^2)$（并入n-1个顶点，每次并入要选出最小者–>n²）	$O(eloge)$（算法主要操作是对边e的排序上，取决于排序算法的时间复杂度）
示例	最小生成树-邻接表Prim
代码

1 最短路径

算法	用途	思想	时间复杂度	应用
BFS算法改造	两点间最短路径
迪杰斯特拉算法Dijkstra	某一个顶点到其余各顶点的最短路径	①以顶点为操作对象，每次选择一个顶点并入子图； ②顶点选择依据：起点到其他顶点的最短路径	$O(n^2)$	博客
弗洛伊德算法Floyd	任意两点的最短路径	①将每个顶点都作为中转站； ②每两个顶点经过中转站是否会更近	$O(n^3)$	- 原理 - 医院选址问题

2 迪杰斯特拉算法

举例	手算答题模板
	用dist[]存放最短路径长度，path[]存放最短路径

void printPath(int path[], int a) {
	int stack[maxSize], top = -1;
	// 以由叶子结点到根结点的顺序将其入栈
	while (path[a]!=-1) {
		stack[++top] = a;
		a = path[a];
	}
	stack[++top] = a;
	while ( top!=-1 ) {
        //出栈并打印出栈元素，实现了顶点逆序打印
		printf("%d ", stack[top--]); 
	}
	printf("\n");
}
#define INF 10e6
void Dijkstra(MGraph G, int v0, int dist[], int path[]) {
	//dist[i]：v0到i的最短路径的值
	//path[i]：v0到i最短路径中，i的前一个顶点
	int set[maxSize]; // 已考虑的顶点
	int min, i, j, u;
	// 初始化：从v到其他各点
	for (i=0; i<G.vernum; ++i) {
		dist[i] = G.arcs[v0][i]; //v0->i
		set[i] = 0;
		if (G.arc[v0][i]<INF) path[i] = v;
		else path[i] = -1;
	}
	set[v0] = 1; path[v0] = -1;
	for (i=1; i<=G.n; ++i) { // 还需要考虑n-1个顶点
		// 选出一条权值最短的边
		min = INF;
		for (j=0; j<G.vernum; ++j) {
			if ( set[j]==0 && dist[j]<min ) {
				u = j;
				min = dist[j];
			}
		}	
		set[u] = 1; //并入集合
		// 更新dist：经过顶点u会不会更近呢?
		for (j=0; j<G.vernum; ++j) {
			if (set[j]==0 && dist[u]+G.edges[u][j]<dist[j]) {
				dist[j] = dist[u] + G.edges[u][j]; //v0->u->j
				path[j] = u;
			}
		}
	}
}

2 弗洛伊德算法

举例	手算答题模板

void PrintPath(MGraph G, int u, int v, int path[][max]) {
	int midNode;
	if ( path[u][v]==-1 ) {
        print("<%C,%c>", G.vers[u], G.vers[v]); //直接输出
	} else {
		mindNode = path[u][v];
		PrintPath(u, mid, path); //mid前半段路径
		PrintPath(mid, v, path); //mid后半段路径
	}
}
void Floyd(MGraph G, int A[][maxSize], int Path[][maxSize]) {
	int i,j,k;
	// 初始化
	for (i=0; i<G.n; i++) {
		for (j=0; j<G.n; j++) {
			A[i][j] = G.edges[i][j];
			Path[i][j] = -1;
		}
	}
	for (k=0; k<G.n; ++k) { //中间经过k点有没有更近呢？
		for (i=0; i<G.n; ++i) {
			for (j=0; j<G.n; ++j) {
                // i->j 对比 i->k->j
				if (A[i][j]>A[i][k] + A[k][j]) {
					A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];
					Path[i][j] = k;
				}
			}
		}
	} 
}

1 AOV、AOE网

	AOV网	AOE网
例子
介绍	【有向无环图】活动在顶点上网（Activity On Vertex network，AOV）	【有向无环图】活动在边上的网（Vctivity On edge network）
边	边无权值，代表活动之间先后次序	边表示活动，且有权值，代表活动持续时间
顶点	顶点表示活动	顶点代表事件，事件是图中新活动开始、旧活动结束的标志

2 AOV网

拓扑排序（拓扑有序序列）	逆拓扑排序（逆拓扑有序序列）
$O(n+e)$；删除入度为0的顶点和边，直到没有入度为0的边	①拓扑排序算法改进；②DFS算法：ALGraph没有邻边的时候输出

2 AOE网

概念1	说明	概念2	说明
ve(vertex earliest)事件最早发生时间	若事件4要发生，事件4的上游0、1、2都要先发 【即】事件4的最早发生时间ve(4)=0到4的最长路径=7	vl(vertex latest)事件的最迟发生时间	1. 根据关键路径得到工程结束的最短时间为28天 2. 事件7距离完成需要17天（7-10有两条路，取时间大的：①7->9->10的时间要10天，②7->8->9->10要17天） 3. 那么，事件7最迟要在第11天开始！不然28天就完不成了！ 【即】vl(7)=28-17=11
ee(edges earliest)活动的最早发生时间	【解释】a7、a8的最早发生时间，即是事件4的最早发生时间，如ee(a7)=ee(a8)=ve(4)=7 【算法】ee(z)=ve(k)顶点k是边z的头顶点 【例】边a3的头顶点是1：ee(a3)=ve(1)=3	el(edges latest)活动的最迟发生时间	【解释】a8的最迟发生时间=vl(7)-a8的权重=vl(7)-4=7 【算法】el(z)=vl(k)-z顶点k是边z的尾顶点 【例】边a14的尾顶点是10：el(a14)=vl(10)-a14=28-6=22
关键活动	ee=el的活动	关键路径	关键活动构成的路径（可能有多个）；图中最长的路径；关键路径之和为整个工程的最短时间

1 扩展

超纲的问题	应用
无向图的连通分量和生成树	无向图的连通分量和生成树-DFS
有向图的强连通分量	- 介绍 - 手算方法
关节点 与 重（双）连通图	详情