数据结构随笔——二叉树和五个重要性质

二叉树是最常用的数据结构之一，笔者过去一直将关注点放在复杂的树结构（例如红黑树，自平衡树），认为那些才是树的重要应用，但当重新由基本看起，才发现树的基本定中就隐藏着树这一结构的精髓。尽管是些浅薄蠢笨的理解和推演，但笔者还是满怀兴奋的想要将它记录下来。

一、二叉树的定义

二叉树的定义不用多说，很多书本上都有明确的定义，但有些细节是笔者过去所没有注意的，先给出殷人昆教授对于二叉树的基本定义——

二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。

可以看出二叉树的定义是递归的，根结点的子树仍然是二叉树，到达空子树时递归定义结束。
一般来说，关于树的术语对于二叉树都是适用的，但应该明确的是二叉树不是树，理由如下：
- 树在图论中被视为用n-1条边连接n个结点的的特殊的图。图的顶点结合非空，故树的顶点非空。图论中另外定义了N叉树，它可以是空树，二叉树属于N叉树。
- 非空二叉树有根，根结点的子树有左右之分，次序不能颠倒；若其中一棵子树为空，则另一棵子树也必须保持左右之分。树可以没有根（自由树）；即使有根，其子树也没有这种区分。

那么，这就出现一个问题——二叉树的叶结点无子女，是否可称它为无子树？
根据定义，应该是不能的，因为可认为叶子点的左右子树为空子树。
虽然认识这一区别的目的并非应试，但笔者还是提一句：个人认为在一般的测试中未必会考察到这么细致，所以遇到忽略这一细致区别的出题人时请不要过于惊讶。

二、二叉树的性质

接下来的描述中有必要用到一些数学符号，在Markdown中不好画出，因此我们再次规定一些符号——
- ａ＾ｂ—— a的b的次方 （计算机常用，无需多言）
- int_UP（）—— 向上取整（即去掉浮点数的小数部分，然后将整数部分加1）
- int_DOWN（）—— 向下取整（即去掉浮点数的小数部分，只留整数部分）
- log(a,b) —— 表示以a为底取b的对数

性质的内容

二叉树具有以下五个性质：
1. 在二叉树的第ｉ（ｉ>=１）层最多有２＾(ｉ - １)个结点。
2. 深度为k(k>=0)的二叉树最少有k个结点，最多有２＾ｋ－１个结点。
3. 对于任一棵非空二叉树，若其叶结点数为n0，度为2的非叶结点数为n2，则ｎ0 = ｎ2 ＋１。
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为int_UP（log(2，ｎ+1)）。
5. 如果将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号１，２，３，．．．．．．，ｎ，然后按此结点编号将树中各结点顺序的存放于一个一维数组，并简称编号为i的结点为结点i（ ｉ>=１ && ｉ<=ｎ）,则有以下关系：
（1）若 ｉ= 1，则结点i为根，无父结点；若 ｉ> 1，则结点 i 的父结点为结点int_DOWN（ｉ / ２）;
（2）若 ２＊ｉ <= ｎ，则结点 ｉ 的左子女为结点 ２＊ｉ；
（3）若２＊ｉ＜＝ｎ，则结点ｉ的右子女为结点２＊ｉ＋１；
（4）若结点编号ｉ为奇数，且ｉ！＝１，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为结点ｉ－１；
（5）若结点编号ｉ为偶数，且ｉ！＝ｎ，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点ｉ＋１；
（6）结点ｉ所在的层次为 int_DOWN（log（2，ｉ））＋１。

部分性质的证明

• 性质１可以通过数学归纳法得到证明
• 性质２证明：
  由性质１可知，ｋ层的最大节点总数可表示为２＾０＋２＾ 1＋……＋２^ (ｋ－１) = ２^ｋ- １；
• 性质３证明：
  首先，由节点的角度看ｎ１＋ｎ２＋ｎ０＝ｎ，设此为（１）式；
  再从边的角度看，ｎ２下接两条边，ｎ１下接一条边，ｎ个节点两两相连一共需要ｎ－１条边，可得２＊ｎ２＋ｎ１＝ｎ－１，此为（２）式；
  由（１）式－（２）式，可得
  ｎ０－ｎ２＝１。

三、一些拓展和说明

1. 完全二叉树

可以看出性质4和5是针对重要的特殊二叉树——完全二叉树的，在此先给出特殊二叉树的定义。

（1）满二叉树

深度k的满二叉树是有2^k－1个结点的二叉树，在满二叉树中，每一层结点都达到了最大个数，除最底层结点的度为0外，其他各层结点的度都为2。

（2）完全二叉树

如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1 ~ n－1的结点一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树。
其特点是：上面从第１层到第ｋ－１层的所有各层的结点数都是满的，仅最下面的第ｋ层是满的，或从右往左连续缺少若干结点。

（3）完全二叉树的结论

• 若完全二叉树有ｎ个结点，当ｎ为奇数时，n1 = 0，n2 = int_DOWN（ｎ／２），n0 = n2 + 1；
• 当ｎ为偶数时，n1 = 1, n0 = ｎ／２；n2 = n0 - 1。

证明 ——
由之前的结论可知，k层结点数为ｎ－（２＾（ｋ－１）－１）；
由于仅最下面的第ｋ层是满的，或从右往左连续缺少若干结点；
ｋ层结点依次从左到右位于ｋ－１层结点的下方，且中间不留空子树；
故表达式（ｎ－（２＾（ｋ－１）－１））／２的商为ｋ－１层中度为２的结点，余数为度为１的结点。
故当ｎ为奇数时，n1＝０；
　当ｎ为偶数时，n1＝１；
由于ｋ－１层以及以上的结点都是满的，即一共２＾（ｋ－２）－１个结点；
ｎ２＝ int_DOWN（（ｎ－（２＾（ｋ－１）－１））／２）＋２＾（ｋ－２）－１
＝ int_DOWN（（ｎ＋１）／２）－１
故当ｎ为奇数时，ｎ２＝ int_DOWN（ｎ／２）＋１－１＝ int_DOWN（ｎ／２），ｎ０＝ｎ２＋１；
　当ｎ为偶数时，ｎ２＝ ｎ／２－１，ｎ０＝ｎ／２－１＋１＝ｎ／２。
证毕。

2. 性质５的拓展

如果结点编号从0开始，则有以下结论：
（1）结点ｉ（１＜＝ｉ＜＝ｎ－１）的父结点为结点int_DOWN（（ｉ－１）／２），结点０无父结点；
（2）分支结点中编号最大的是结点int_DOWN（（ｎ－２）／２）或结点int_DOWN（ｎ／２）－１；
（3）若ｉ＜＝int_DOWN（（ｎ－２）／２），则结点ｉ的左子女为２＊ｉ＋１；若ｉ＜＝int_DOWN（（ｎ－３）／２），则结点ｉ的右子女为２＊ｉ＋２；
（4）若ｉ为偶数且大于０，则结点ｉ有左兄弟结点ｉ－１；若ｉ为奇数且ｉ＜＝ｎ－２，则结点ｉ有右兄弟结点ｉ＋１；
（5）结点ｉ（０＜＝ｉ＜＝ｎ－１）在第int_DOWN（ｌｏｇ（２，ｉ＋１））＋１。

3. 二叉树存储和遍历的小结论

• 含有 n 个结点的二叉链表中有 n+1 个空指针域，这是因为在所有结点的2ｎ个链指针域中只有ｎ－１个存有边信息的缘故。三叉链表则有ｎ＋２个空指针域。
• 前序遍历算法中，第一个被访问的元素一定是二叉树的根，如果根的左子树非空，则紧跟在根后的一定是根的左子女；如果左子树为空，则其后紧跟的是其右子树的根。
• 后序遍历算法中，最后一个被访问的一定是二叉树的根，如果根的右子树非空，则在根之前的一定是根的右子女；如果右子树为空，则其前的元素是其左子树的根。

参考资料:数据结构（C语言描述），清华大学出版社（2012.10），殷人昆