多重背包问题(二进制拆分)

多重背包问题描述：

  有$N$种物品，第$i$种物品的体积是$c_i$，价值是$w_i$,每种物品的数量都是有限的，为$n_i$。现有容量为$V$的背包，求在总体积不超过$V$的条件下，使得背包的总价值最大。

朴素算法:

  将第$i$类物品的$n_i$个物品拆分，得$\Sigma n_i$个物品，即将原问题转换为了01背包问题，时间复杂度为$O(V\times \Sigma n)$。
  也可以在转移的过程中枚举$k$，表示第$i$种物品选取的数量。$$dp[i][v]=max(dp[i-1][v-k\ast c_i]+k\ast w_i),0\le k\le n_i$$
时间复杂度为$O(V\times \Sigma n)$。

优化(二进制拆分):

二进制拆分：

  一个数$n$可以拆分为$x$个数字，分别为
        $$2^0,2^1,2^2,...,2^{k-1},n-2^k+1,\text{其中}k\text{是满足}n-2^k+1>0的最大整数。$$
  满足使得这$x$个数可以组合成任意小于等于$n$的数。

  由$n-2^k+1>0$，移项，两边同时取数，得$k<log(n+1)$,即拆分得的数字个数$x$$=\lfloor log(n+1)\rfloor$。

$e.g.$ 7的二进制 7 = 111 分解所得的 $001,010,100$这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，每种组合都会得到不同的数。15 = 1111 可分解成$0001,0010,0100,1000$四个数字，这四个数字进行组合也可以得到1-15之间的任一个数值。

优化：

将第$i$种物品的$n_i$个物品进行二进制拆分，得到得到拆分后的$x$个物品，分别为$(c_i,w_i),(2\times c_i,2\times w_i),(4\times c_i,4\times w_i),...,(2^{x-1}\times c_i,2^{x-1}\times w_i),((n-2^x+1)\times c_i,(n-2^x+1)\times w_i)$。
$e.g.$当$n$为13时，$x=\lfloor log(13+1)\rfloor =3$,故拆分成$1,2,4,6$,根据二进制的性质，$1\sim 13$都可以由$1,2,4,6$这四个数字组合得到。

例题:平分娃娃

#include 
using namespace std;
int m[7];
int w[14*6+1];
int dp[420001];
int main()
{
	int V=0;
	int t=1;
	int j;
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=6;i++){
		cin>>m[i];
		V+=m[i]*i;
		int k=log2(m[i]+1);
		for(j=0;j<=k-1;j++){
			w[t++]=i*pow(2,j);	
		} 
		w[t++]=i*(m[i]-pow(2,k)+1);
	} 
	if(V%2==0){
	for(int i=1;i<=t-1;i++){
		for(int j=V;j>=w[i];j--){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+w[i]);					
		}
	}
	if(dp[V/2]==V/2){
		cout<<"Can be divided.\n";
		}
	else{
		cout<<"Can't be divided.\n";
		}
	}
	else{
		cout<<"Can't be divided.\n";
	}
    return 0;
}