欧拉图的基本概念以及判定方法

基本概念:

回路:一条路径的起止顶点相同

开路:一条路径的起止顶点不相同

通过图G的每条边一次且仅一次的回路称为欧拉回路。存在欧拉回路的图,称为欧拉图

通过图G的每条边一次且仅一次的开路称为欧拉路,对应的有半欧拉图

 

起源历史:

       图论起源于18世纪,1736年瑞士数学家欧拉(Euler)发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡 七桥问题”。在当时的哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河,河中的两个岛与两岸用七座桥连结起来。当时那里的居民热衷于一个难题:有游人怎样不重复地走遍七桥,最后回到出发点。 为了解决这个问题,欧拉用A,B,C,D4个字母代替陆地,作为4个顶点,将联结两块陆地的桥用相应的线段表示,于是哥尼斯堡 七桥问题就变成了图中,是否存在经过每条边一次且仅一次,经过所有的顶点的回路问题了。欧拉在论文中指出,这样的回路是不存在的。
欧拉图的基本概念以及判定方法_第1张图片
 
相关定理:
要想一个图G是欧拉图,图G需要满足两个条件:
针对有向图来说:
1.图G是连通的,不能有孤立的点存在。
2.每个顶点的入度要等于出度。
针对无向图来说:
1.图G是连通的,不能有孤立的点存在。
2.度数为奇数的点的个数为0。
 
要想一个图G是半欧拉图,图G需要满足两个条件:
针对有向图来说:
1.图G是连通的,不能有孤立的点存在。
2.存在两个顶点,其入度不等于出度,其中一点出度比入度大1,为路径起点,另一点入度比出度大1,为路径的终点
针对无向图来说:
1.图G是连通的,不能有孤立的点存在。
2.度数为奇数的点的个数为2,并且这两个点一定是路径的起点和终点。
 

 

 

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