【数学】多重背包问题的二进制优化的数学基础

多重背包问题是背包问题中的一类，具体是指，给定一个背包的容积$V$，给定一列物品，以及其体积向量$w[i]$，价值向量$v[i]$和个数向量$s[i]$，也就是物品$i$的价值是$v[i]$，有$s[i]$个，占用的体积是$w[i]$，问在如何在保证背包装得下的情况下，最大可能装的物品的总价值是多少。

在多重背包问题中有一种经典的二进制优化，可以把枚举物品数量的过程从$O(s)$变成$O(\log s)$，也把多重背包问题转化成了0-1背包问题。此文的目的是给其中的数学基础给予证明。

命题：给定一个正整数$x$，和一个可重集合$S=\{1,2,4,8,...,2^k,r\}$，其中$2^{k+1}-1\le x<2^{k+2}$。如果$x>2^{k+1}-1$，则取$r=x-(2^{k+1}-1)$，此时$S$里有$k+2$个数；否则的话$r=0$，就把$r$从这列数中去掉，此时$S$里有$k+1$个数。需要注意的是，$r$有可能等于集合中的其他数。证明：任何属于$1\sim x$的数，都可以表达为$S$中若干数字的和（每个数字最多只能取一次），且表法唯一。

证明：
先证明$V=\{0,1,2,3,4,...,2^k-1\}$是二元域$F=\{0,1\}$上的线性空间，其有一组基为$S=\{1,2,4,...,2^{k-1}\}$，其中$V$中的加法是模$2^k$剩余类的加法，数乘是普通数字的乘法。

容易证明$V$关于模$2^k$剩余类的加法是一个阿贝尔群，其余性质直接按照线性空间的定义验证即可，非常显然。接下来证明$S$确实是一组基。数学归纳法。当$k=0$的时候$S=\varnothing$，成立，当$k=1$时也显然成立。假设当$k=l$时成立，当$k=l+1$时，由于已经知道$\{1,2,4,...,2^{l-1}\}$是一组基，也就是线性无关的，由于$2^l>{\sum }_{i=0}^{l-1}{2}^i=2^l-1$，所以$2^l$无法由$\{1,2,4,...,2^{l-1}\}$线性表出，所以$\{1,2,4,...,2^l\}$线性无关。

接下来证明此线性无关向量组可以表出$\{0,1,2,...,2^{l+1}-1\}$。由于$\forall x\le 2^l-1$，由数学归纳法，都可以由$\{1,2,4,...,2^{l-1}\}$线性表出，而对于任意满足$2^l\le x\le 2^{l+1}-1$的$x$，都有$0\le x-2^l\le 2^l-1$，所以$x-2^l$可由$\{1,2,4,...,2^{l-1}\}$线性表出，所以$x$可由$\{1,2,4,...,2^{l-1},2^l\}$线性表出。由数学归纳法，证明完毕。

接下来证明原命题。如果$n\le 2^{k+1}-1$，那么由上面的命题，$n$可由$S=\{1,2,4,...,2^k\}$唯一线性表出，由于二元域$F=\{0,1\}$，所以当然最多取一次。$r=0$的情况已经被包含在上面。如果$2^{k+1}\le n\le x$且$r>0$，则有$2^{k+1}-r\le n-r\le 2^{k+1}-1$，由归纳法$n-r$能被$S=\{1,2,4,...,2^k\}$线性表出，所以$n$能被$\{1,2,4,...,2^k,r\}$唯一线性表出。

这个命题还有非常简单的证明方法。取一个从$V$到$k$维$01$向量的同构映射，映射方式是二进制表示，然后所有命题都按照后者来证，一切都变得很显然，也不需要数学归纳法了。

由这个命题，我们可以对很多要枚举$1\sim n$的问题进行优化，优化成$\log n$的复杂度。树状数组就是其的一种应用。