HDU 5127 Dogs' Candies【CDQ分治+动态凸包】
HDU 5127 Dogs’ Candies【CDQ分治+动态凸包】
题意：
一个狗国家的狗国王有一个装糖的盒子，每颗糖有两个属性p,q，分别代表甜度和咸度，每只狗对于甜度和咸度的偏爱度不一样，所以每条狗有两个参数x, y，每颗糖对于特定的狗的美味度等于p*x+q*y。现在有50000个操作，分为三种：
- 将新的糖(p,q)放入盒子中
- 将盒子中存在的糖(p,q)吃掉
- 给出一条狗的参数(x,y)，询问当前存在的糖的最大美味度。
解法：
这个题是2014年广州现场赛的A题，模拟赛做的时候虽然推出了公式，但是并没有发现最优解为凸包的性质，于是一直到比赛结束都没有做出这个题，但是当时最诡异的是，有一个排名比较靠后的队伍在16分钟就将此题一血拿走，整场比赛解出此题的不过10支左右队伍。当比赛结束的时候，看了一下别人的代码，发现我能在hust上面看到的代码居然都是暴力水过去的！…我觉得好醉啊…，继续在网上买了搜索此题题解，发现都是直接 n2 暴力来一遍的…，仔细想了一下， n2 暴力的话，复杂度在最坏的情况下为 25000∗25000 ，大概 6∗108 左右，这种复杂度我是无论如何都不敢敲的…，但是如果数据是随机生成的话，询问，插入，删除操作只占 50000∗1/3 ，那么这个复杂度以当时的30s的时限来说，还是可以跑出结果的…于是这么一个现场10支队伍过的难题，就被这样水过去了。
此题虽然能够暴力水过去，但是无疑思考更一般的通解是很有必要的。
后来听说翁教他们当时是分块暴力重建凸包过去的，我就去请教了一下翁教，终于由之前的公式发现了最优解在凸包上的这一重大性质。
此题正解应该是cdq分治+维护动态凸包，或者分块暴力重建凸包。而我的做法是CDQ维护凸包。具体是这样的：
首先得先分析出最优解一定在凸包上这一性质：
考虑这样的两颗糖果 A(p1,q1),B(p2,q2) ，假设A比B优，那么存在这样的表达式： p1∗x+q1∗y≥p2∗x+q2∗y ,变形一下式子之后得到这样的表达式： p2−p1q2−q1≤−yx(x>0且q2>q1) ，也就是说，只要A，B满足上述式子就一定存在A比B更优。我们可以将q看成横坐标，p看成纵坐标，将每一颗糖看成一个点。假设 K=−yx ，考虑这样的三个点 A(q1,p1),B(q2,p2),C(q3,p3) 。 设AB的斜率为 k1 , BC的斜率为 k2 , 则A比B优需要满足 k1<K ，B比C更优需要满足 k2<K ，那么B比A,C都优的话，就需要满足 k2<K<k1 ，也就是说需要满足 k2<k1 ，这种情况只有在三个点构成的图为上凸壳的时候才满足，如果图形是下凸壳的话，中间的B点一定不可能比AC都优。
于是这里可以知道的是对于特定的 K 来说，最优解一定在可选点构成的上凸包上面，由于之前限定了 (x>0且q2>q1) 当这个条件改变的时候，最优解也可能在下凸包上。于是我们只需要维护一个动态的凸包，对于每一个询问，在相应的上凸壳或下凸壳上二分斜率就能找到最优解。
至于这里如何维护凸包的话，如果做过维护动态凸包的类似题的话，此时肯定就迎刃而解。
我的方法是用CDQ分治做这个凸包。
对于一个区间[l,r]，我首先将存在于[l, mid]中的点集取出来做出一个凸包，对于[l, mid]之间的‘-1’操作，如果删除的是[l, mid]之间的点，那么就正常的删点；如果删的点是l左边的点，那么这个删除操作就忽略。然后利用构建好的这个凸包去更新[mid+1, r]中的所有询问操作。
看似好像没问题，但是实际上这是错的…
因为在区间[mid+1, r]中可能存在删除操作，删掉了之前构建好的凸包上面的点，导致更新后面的询问出现错误，那么我们还需要做的就是在删除点之后，继续维护这个凸包。对于[mid+1, r]中的加点操作，我们是可以忽略的，因为后面更新右区间的时候也会更新的。
删除点的维护操作是这样的，首先现在凸包上面找到这个点，如果没找到说明不会改变凸包，但是也要将这个点标记为已删除的点。如果这个点在凸包上面，那么找到这个点的在凸包上的前驱和后继，将该点删除，然后在最开始构筑凸包的那个数组中，重新构造前驱到后继之间的凸包，最后在加上后面的凸包即可。
做完这一步的话，就可以正常的更新所有询问咯~
复杂度 O(n∗log2n∗log2n) 。这个算法在hdu上面目前暂居时间排名第一^_^(赶紧截图留念…不然要被超啦..对了，第二的关云长是我前半小时在hust上面交的~~)
代码：
#include int > mp;
LL ans[N];
bool vis[N];
int cnt;
LL Cross(Point A, Point B){return (LL)A.x * B.y - (LL)A.y * B.x;}
Point operator-(Point A, Point B) {return (Point){A.x - B.x, A.y - B.y};}
void getConvex(int n)
{
m1 = m2 = 0;
sort(pt, pt+n);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
while(m1 > 1 && Cross(pt[i] - p1[m1-2], p1[m1-1] - p1[m1-2]) <= 0) m1--;
p1[m1++] = pt[i];
}
for(int i = n-1; i >= 0; i--)
{
while(m2 > 1 && Cross(pt[i] - p2[m2-2], p2[m2-1] - p2[m2-2]) <= 0) m2--;
p2[m2++] = pt[i];
}
}
void updateConvex(Point deltP)
{
int idx = -1;
for(int i = 0; i < m1; i++)
{
if(p1[i].x == deltP.x && p1[i].y == deltP.y){idx = i;break;}
}
if(idx != -1)
{
int l = idx - 1, r = idx + 1;
int tail = 0;
for(int i = r+1; i < m1; i++)
tmp[tail++] = p1[i];
int lpt, rpt;
if(l == -1) lpt = -1;
if(r == m1) rpt = cnt - 1;
for(int i = 0; i < cnt; i++){
if(l != -1 && pt[i].x == p1[l].x && pt[i].y == p1[l].y && vis[pt[i].opid]) lpt = i;
if(r != m1 && pt[i].x == p1[r].x && pt[i].y == p1[r].y && vis[pt[i].opid]) rpt = i;
}
///
m1 = l+1;
for(int i = lpt + 1; i <= rpt; i++)
{
if(vis[pt[i].opid] == 0) continue;
while(m1 > 1 && Cross(pt[i] - p1[m1-2], p1[m1-1] - p1[m1-2]) <= 0) m1--;
p1[m1++] = pt[i];
}
for(int i = 0; i < tail; i++)
p1[m1++] = tmp[i];
}
idx = -1;
for(int i = 0; i < m2; i++)
{
if(p2[i].x == deltP.x && p2[i].y == deltP.y) {idx = i;break;}
}
if(idx != -1)
{
int l = idx - 1, r = idx + 1;
int tail = 0;
for(int i = r+1; i < m2; i++)
tmp[tail++] = p2[i];
int lpt, rpt;
if(l == -1) lpt = cnt;
if(r == m2) rpt = 0;
for(int i = 0; i < cnt; i++){
if(l != -1 && pt[i].x == p2[l].x && pt[i].y == p2[l].y && vis[pt[i].opid]) lpt = i;
if(r != m2 && pt[i].x == p2[r].x && pt[i].y == p2[r].y && vis[pt[i].opid]) rpt = i;
}
///
m2 = l+1;
for(int i = lpt - 1; i >= rpt; i--)
{
if(vis[pt[i].opid] == 0) continue;
while(m2 > 1 && Cross(pt[i] - p2[m2-2], p2[m2-1] - p2[m2-2]) <= 0) m2--;
p2[m2++] = pt[i];
}
for(int i = 0; i < tail; i++)
p2[m2++] = tmp[i];
}
}
void updateans(int x, int y, int idx)
{
Point o =(Point){x, -y};
if(m1 <= 2){
for(int i = 0; i < m1; i++)
ans[idx] = max(ans[idx], (LL)p1[i].x * y + (LL)p1[i].y * x);
}else{
int lb = -1, ub = m1-1;
while(lb + 1 < ub)
{
int mid = lb + ub >> 1;
if(Cross(p1[mid+1] - p1[mid], o) <= 0) lb = mid;
else ub = mid;
}
lb = max(0, lb);
ans[idx] = max(ans[idx], (LL)p1[lb].x * y + (LL)p1[lb].y * x);
if(ub < m1) ans[idx] = max(ans[idx], (LL)p1[ub].x * y + (LL)p1[ub].y * x);
}
if(m2 <= 2) {
for(int i = 0; i < m2; i++)
ans[idx] = max(ans[idx], (LL)p2[i].x * y + (LL)p2[i].y * x);
}else{
int lb = -1, ub = m2 - 1;
while(lb + 1 < ub){
int mid = lb + ub >> 1;
if(Cross(p2[mid+1] - p2[mid], o) <= 0) lb = mid;
else ub = mid;
}
lb = max(0, lb);
ans[idx] = max(ans[idx],(LL)p2[lb].x * y + (LL)p2[lb].y * x);
if(ub < m2) ans[idx] = max(ans[idx], (LL)p2[ub].x * y + (LL)p2[ub].y * x);
}
}
void divide(int l, int r)
{
if(l >= r) return ;
int mid = l + r >> 1;
for(int i = l; i <= mid; i++) vis[i] = 0;
for(int i = l; i <= mid; i++)
{
if(can[i].ty == 1) vis[i] = 1;
if(can[i].ty == -1 && can[i].opid >= l && can[i].opid <= mid) vis[can[i].opid] = 0;
}
cnt = 0;
for(int i = l; i <= mid; i++)
if(vis[i]) pt[cnt++] = can[i];
getConvex(cnt);
for(int i = mid+1; i <= r; i++){
if(can[i].ty == 0) updateans(can[i].x, can[i].y, i);
if(can[i].ty == -1 && can[i].opid >= l && can[i].opid <= mid && vis[can[i].opid]){
vis[can[i].opid] = 0;
updateConvex(can[can[i].opid]);
}
}
divide(l, mid);
divide(mid+1, r);
}
int main()
{
Open();
while(~scanf("%d", &n) && n)
{
mp.clear();
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int ty, x, y;
scanf("%d%d%d", &ty, &x, &y);
can[i] = (Point){y, x, ty, i};
if(ty == 0) swap(can[i].x, can[i].y), ans[i] = -INF;
if(ty == 1) mp[PII(y, x)] = i;
if(ty == -1) can[i].opid = mp[PII(y, x)];
}
divide(0, n-1);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(can[i].ty == 0)
printf("%I64d\n", ans[i]);
}
}
return 0;
}