轻松理解-opencv-数字图像图像处理--一维离散卷积和一维离散傅里叶变换

第一章:一维离散卷积

假设有两个有限序列:


我们把他们放入以下栅格:



然后,沿着,进行滑窗:

      

                                  

从下面开始出现相互重叠的栅格: 

     


     


     

    

    

     直到不再有相互重叠的栅格:


我们可以看出上面一共得出了5个值,即以下序列:

                                                                                                                                        

那么该序列即:的卷积,显然序列的长度为 :的长度+的长度-1。

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矩阵法求卷积:

给出矩阵构造的方法步骤:

1:从上述卷积的图解法,可以看出,虽然-1排在前面,但是第一次参与运算的是 1,所以我们首先把旋转180度,得到

2:在末尾进行补零,使它们的长度均为 4+2-1=5(即卷积后元素的个数), 为了讨论方便 补零后 都转换为列向量:
 、

补零后的列向量为基础,构造以下循环矩阵,
轻松理解-opencv-数字图像图像处理--一维离散卷积和一维离散傅里叶变换_第1张图片

3、两个矩阵相乘,即可得到卷积的结果:

轻松理解-opencv-数字图像图像处理--一维离散卷积和一维离散傅里叶变换_第2张图片

可以看到矩阵相乘得到的结果,即为卷积得到的结果:

                                                                                                     


【补充:解释上述构造循环矩阵的方法】

假设有以下向量:


那么以它为基础的循环矩阵为:

轻松理解-opencv-数字图像图像处理--一维离散卷积和一维离散傅里叶变换_第3张图片

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多项式法求卷积:

                                                                                                   
翻转180,得到
                                                                                                 ,

然后分别以它们为系数(从高次幂到低次幂),得到两个多项式:

,

然后上述两个多项式相乘:


把上述多项式的结果,按从高次幂到低次幂取出它们的系数,即为卷积的结果:
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以下会补上一维离散的傅里叶变换、以及一维离散的傅里叶变换和一维离散卷积的关系。
并将以上内容推广到二维,用于数字图像处理。。

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