浅谈关于强（弱）酸（碱）稀释的图像问题的数学分析

浅谈关于强（弱）酸（碱）稀释的图像问题的数学分析

比起学术剽窃导图，窝更期望思维的闪光。——LittlePrincess

吼，话不多说，进入正题

①等浓度等体积

首先我们知道这样一个东西$pH=-lgc(c表示浓度）$
然后我们冷静观察这个坐标系是以$pH$为纵轴以 $V_{添加的水}$为横轴的图像
令$f(x)=pHx=V_{添加的水}$
$$得:f(x)=-lg(\frac{c_0{v}_0}{v_0+x})(c_0表示初始浓度，v_0表示初始体积）$$
则
$$f^{{}^{\prime }}(x)=\frac{1}{ln10(v_0+x)}$$
这个东西显然单调递减$x\in [0,+\infty ]$
这就可以解释它为什么是 上凸 的了
对于弱酸曲线我们可以同理求得（抄一遍 ）
$$f_2(x)=-\frac{1}{2}lg(\frac{K(v_0{c}_0)}{v_0+x})$$
$$f_2(x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2ln10(v_0+x)}$$
现在我们已经知道它的大致形状了，那么我们想再研究一下，$f(x)与f_2(x)$是否有交点呢？差值最小是多少呢？最大呢？在哪里取得呢？
我们令
$$R(x)=f(x)-f_2(x)$$
即
$$R(x)=\frac{lgK}{2}-\frac{1}{2}lg(\frac{v_0{c}_0}{v_0+x})$$
显然，在$\frac{v_0{c}_0}{v_0+x}=K$取零点$(c_0>K)$(想想也觉得c_0不可能<=K嘛，这种情况没啥研究价值哇)
所以窝要$diss$一下这道题:

2015全国I高考理综化学

这道题看起来没有任何毛病（逃）
但是你冷静观察一下 $C$，所谓的无限稀释是什么呢？
显然这个题稀释的加水体积$x$是可求得的，那么这里就不是用的所谓极限法了吧。
窝认为这个题的出题人化学实力水平极高，但忽略了在数学上存在严格相交的点且不是$+\infty$
当年若是没有引起争议，可能是因为考生也都被高考中的套路蒙蔽了双眼
有人可能会$diss$我说：泥那个$c(H^{+})=\sqrt{(}Kc(HX)$不也是近似的么？
是近似的不错，不过其实是K被缩小罢了，你把K再增大多少（设为$K^{\prime }$）其实仍然然有
$$\exists x_0，满足\frac{v_0{c}_0}{v_0+x_0}=K^{{}^{\prime }}$$
所以说此题是不严谨的!

②等体积等pH

$设f_3(x)=-\frac{1}{2}lg(\frac{K{c}_1{v}_0}{v_0+x})c_1为弱酸初始浓度$
强酸方程依然为$f(x)$
因为
$$c_1=\frac{c_0^2}{K}$$
得$f_3(x)=-\frac{1}{2}lg(\frac{c_0^2{v}_0}{v_0+x})$
则$R_2(x)=f(x)-f_3(x)=\frac{1}{2}lg{c}_0-\frac{1}{2}lg(\frac{v_0{c}_0}{v_0+x})$
这个东西显然在$(0,+\infty ]$上无零点。
那么这种情况就不需大讨论了。

综上所述，当等浓度等体积稀释，弱酸与强酸曲线均为上凸，且在$\frac{v_0{c}_0}{v_0+x}=K$取交点。当等pH稀释是，图像为上凸，且无交点。