向量的点乘与叉乘

有$a=\left(x_1,y_1\right)$，$b=(x_2,y_2)$,则有

点乘

定义

$a\cdot b=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

点乘的推导

$\theta$为$a$与$b$之间的夹角，${\theta }_1$是$a$与x轴所成的夹角，${\theta }_2$为$b$与x轴所成的夹角，$\theta ={\theta }_1+{\theta }_2$
$a\cdot b=x_1{x}_2+y_1{y}_2$
$a\cdot b=|a|cos{\theta }_1\ast |b|cos{\theta }_2+|a|sin{\theta }_1\ast |b|sin{\theta }_2$
$a\cdot b=|a||b|(cos{\theta }_{1}cos{\theta }_2+sin{\theta }_{1}sin{\theta }_2)$
由和角公式得

$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

应用

1.点乘应用于求2个向量的夹角或者求一个向量在另一个向量的夹角
2. 可以求一个向量在另一个向量的投影
${\mathbf{v}}_{||}=\mathbf{n}\frac{|{\mathbf{v}}_{||}|}{|\mathbf{n}|}$
$\cos \theta =\frac{|{\mathbf{v}}_{||}|}{|\mathbf{v}|}$
$|{\mathbf{v}}_{||}|=\cos \theta |\mathbf{v}|$
将$|{\mathbf{v}}_{||}|$带入一式得
$|{\mathbf{v}}_{||}|=\mathbf{n}\frac{|\mathbf{v}|\cos \theta }{|\mathbf{n}|}$
$|{\mathbf{v}}_{||}|=\mathbf{n}\frac{|\mathbf{v}||\mathbf{n}|\cos \theta }{|\mathbf{n}{|}^2}$
$|{\mathbf{v}}_{||}|=\mathbf{n}\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{n}{|}^2}$

叉乘

定义

i,j,k分别为x,y,z上面的单位向量
$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$

$a\times b=(y_1{z}_2-z_1{y}_2)i+(z_1{x}_2-x_1{z}_2)j+(x_1{y}_2-y_1{x}_2)k$

向量积

$a\times b$的向量积为

$|a||b|sin\theta$

即为$a$ 与$b$所形成的平行形的面积