计算几何之判断两线段是否相交
1. 向量的叉积
(1)坐标表示
设矢量P =（x1,y1），Q= (x2,y2)，则矢量叉积定义为：P× Q = x1*y2 - x2*y1得到的是一个标量。
(2)叉乘的重要性质：
设矢量P=（x1,y1），Q = (x2,y2)，则有下列性质：
性质a：
P× Q = - ( Q× P)
P× ( - Q ) = - ( P× Q )
性质b：
若 P× Q > 0 ,则P在Q的顺时针方向；
若 P× Q < 0 ,则P在Q的逆时针方向；
若 P× Q = 0 ,则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
性质c：
以P、Q为邻边的平行四边形的面积=abs(P×Q)，三角形的面积=1/2*abs(P×Q)
2. 判断两线段是否相交
如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。
P1P2跨立Q1Q2，则矢量( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 )× ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 )× (Q2 - Q1 ) < 0，即 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2-Q1 )× ( P2 - Q1 ) > 0
当( P1 - Q1 )× (Q2 - Q1 ) = 0时，说明( P1 - Q1 )和 ( Q2 - Q1 )共线，P1一定在线段 Q1Q2上或者其延长线上；如果P1在线段 Q1Q2上，不管P2在哪P1P2都会与Q1Q2相交。
3. 代码
#include
#define MAXV 4
typedef struct
{
double x,y;
}tpoint;
//返回向量OA和OB叉积的结果
double cross(tpoint O,tpoint A, tpoint B)
{
return(A.x-O.x)*(B.y-O.y)-(B.x-O.x)*(A.y-O.y);
}
double min(double a,double b)
{
if(a
return a;
else
return b;
}
double max(double a,double b)
{
if(a>b)
return a;
else
return b;
}
//判断点C是否在以A和B为对角线的矩形里面
bool is_onseg(tpoint A, tpoint B, tpoint C)
{
if(C.x>=min(A.x, B.x) &&C.x<=max(A.x, B.x) && C.y>=min(A.y, B.y)&&C.y<=max(A.y, B.y))
return true;
else
return false;
}
//判断线段P1P2是否与Q1Q2相交
bool is_intersect(tpoint P1,tpoint P2,tpoint Q1,tpoint Q2)
{
double d1,d2,d3,d4;
d1=cross(Q1,Q2,P1);
d2=cross(Q1,Q2,P2);
d3=cross(P1,P2,Q1);
d4=cross(P1,P2,Q2);
if(((d1<0&& d2>0) ||(d1>0 && d2<0)) && ((d3<0&& d4>0) ||(d3>0 && d4<0)))//d1、d2异号，d3、d4异号，说明相交
return true;
else if(0==d1 && is_onseg(Q1,Q2,P1))//d1=0，说明P1在线段Q1Q2上或者其延长线上；is_onseg(Q1,Q2,P1)为真，说明点P1在以P1和P2为对角线的矩形里面，综合得P1在线段Q1Q2上
return true;
else if(0==d2 &&is_onseg(Q1,Q2,P2))
return true;
else if(0==d3 &&is_onseg(P1,P2,Q1))
return true;
else if(0==d3 && is_onseg(P1,P2,Q2))
return true;
else
return false;
}
int main()
{
tpoint p[MAXV];
int i;
for(i=0;i<4;i++)
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
if(is_intersect(p[0],p[1],p[2],p[3]))
printf("Yes\n");
else
printf("No\n");
return 0;
}
4. 扩展
类似的，判断点是否在线段上和判断线段和直线是否相交也可以利用向量的叉积来判断。