线性代数学习笔记（一）——二阶和三阶行列式

本篇笔记从解方程组开始，并引入一种新运算，然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义，如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系，还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。

1 方程组

$\{\begin{array}{l}5x+6y=7①\\ 9x+4y=3②\end{array}$

将$①\times 9、②\times 5$得：
$\{\begin{array}{l}5\times 9x+6\times 9y=7\times 9③\\ 9\times 5x+4\times 5y=3\times 5④\end{array}$

将$③-④$得：
$(5\times 4-6\times 9)y=3\times 5-7\times 9$

解得：
$y=\frac{3\times 5-7\times 9}{5\times 4-6\times 9}⑤$

同理可得：
$x=\frac{7\times 4-6\times 3}{5\times 4-6\times 9}⑥$

通过观察上述$⑤,⑥$的值可以发现，分子和分母都是四个数分别为：两两先相乘，再相减。

2 定义一种新运算

通过左右两条竖线，中间放入四个数字，表示对角线上数字先相乘再相减，定义以下运算：
$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-cb$

上述$x,y$可表示为：
$\{\begin{array}{l}x=\frac{7\times 4-6\times 3}{5\times 4-6\times 9}=\frac{\left|\begin{array}{cc}7& 3\\ 6& 4\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}5& 9\\ 6& 4\end{array}\right|}\\ \\ y=\frac{3\times 5-7\times 9}{5\times 4-6\times 9}=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 9\\ 7& 5\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}5& 9\\ 6& 4\end{array}\right|}\end{array}$

3 二阶行列式

二阶行列式由4个数写成2行和2列，并在左右两边加上竖线组成。
$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$

行列式表示一个数，上述二阶行列式的值为：$a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

元素：每个元素使用$a_{ij}$表示。
行标：$i$为行标，表示第几行。
列标：$j$为列标，表示第几列。
主对角线：\，从左上角到右下角。
次对角线：/，从左下角到右上角。

举例：
$\left|\begin{array}{cc}1& 7\\ 9& 3\end{array}\right|=1\times 3-9\times 7$

$\left|\begin{array}{cc}m& n\\ a& b\end{array}\right|=mb-an$

$\left|\begin{array}{cc}\lambda -1& 1\\ 2& \lambda \end{array}\right|=\lambda (\lambda -1)-1\times 2$

$\left|\begin{array}{cc}爱& 子\\ 辈& 你\end{array}\right|=爱你-辈子$

4 三阶行列式

三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列，并在左右两边加上竖线组成。
$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法（对角线展开法）方式求值，其值为：
$a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}$

总共有6项，其中主对角线方向3项为正数，次对角线方向3项为负数。

举例：
$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 1& \lambda & 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\lambda \times \lambda \times 1+1\times 1\times 0+1\times 0\times 0-0\times \lambda \times 0-1\times 1\times 0-0\times 1\times \lambda$

5 一些概念

为了解理N阶行列式，引入以下概念：
排列：由$1,2,...,n$组成的一个有序数组叫n级排列。

例如：
$123$
$132$
$213$
$231$
$312$
$321$
以上都是3级排列。

3145不是5级排列，因为缺少数字2，不满足有序的条件，所以数组中不能缺数。

n级排列一共有 $n(n-1)(n-2)...3\times 2\times 1=n!$ 种。

逆序：比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如：在排列$4213$中，4排在2前面就构成了逆序。
逆序数：排列中逆序的总数。
例如：
在排列$4213$中，逆序数为4，具体计算如下：
3（4后面比4小的数的个数）+1（2后面比2小的数的个数）+0（1后面比1小的数的个数）+0（3后面比3小的数的个数）

逆序数使用$N$表示，例如：$N(4213)=4$

奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。

标准排列：逆序数为0的排列，也称为自然排列。
由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如：$N(123...n)=0$

举例：
求：$N(54123)$
解：
$=4+3+0+0+0$
$=7$
数逆序数的方法：从第一个数开始，依次数后面有几个比它小的数，顺序不能乱。

求：$N(n(n-1)(n-2)...321)$
解：
$=(n-1)+(n-2)+...+2+1$
$=\frac{n(n-1)}{2}$

对换：交换排列中的两个数。

例如：$54123\to 54213$，

由前面可知：$N(54123)=7$，而交换两个数后，$N(54213)=4+3+1+0+0=8$

6 定理

定理 1.1.1：一个排列经过一次对换，奇偶性会改变。

一个排列做偶数次对换，其奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，其奇偶性改变。

定理 1.1.2：在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：$\frac{n!}{2}$。

7 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.1 二阶三阶行列式