数论 —— 素性测试

【概述】

判断素数是一个较常涉及的内容，所谓素性测试是检测一个数是否为素数的测试。

素数定理：，其中 π(x) 表示不超过 x 的素数的个数

质数分布密度定理：素数的分布越来越稀疏，当 1E18 内的任意两个素数的差不会很大（不会超过 300）

【埃拉托斯特尼筛法】

初始时，先假设所有数都是素数，从2开始枚举，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数，把这些合数都筛掉，继续向下枚举，直至所有数枚举完毕。

int primes[N],cnt;
bool bprime[N];
void getPrime(int n){
    memset(bprime,false,sizeof(bprime));
    bprime[0]=true;
    bprime[1]=true;   

    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!bprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(LL j=i*2;j<=n;j+=i)
                bprime[j]=true;
        }
    }
}

【线性筛法】

仔细分析埃拉托斯特尼筛法可发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。

以 30 为例，在 i=2 的时候，k=2*15 筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。

未避免冗余，提高效率，也就有了快速线性筛法，其可保证不会重复删除一个数。

原理：

① 如果 i 是素数，那么一个大的素数 i 乘以一个不大于 i 的素数，这样筛出的数都是： 形式的，是不会重复的。

② 如果 i 是合数，此时 i 可以表示为递增素数相乘，即：，P1 是最小的系数。

③ 当执行到 p1=prime[j] 的时候，筛选就终止了，也即只能筛选出 不大于 p1 的素数 * i

int primes[N],cnt;
bool bPrime[N];
void getPrimes(int n){
    memset(bPrime,false,sizeof(bPrime));
 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!bPrime[i])
            primes[cnt++]=i;
 
        for(int j=0;j

【判素数】

1.试除法

当数据范围较小的情况下，判断素数可从判断 2 到 sqrt(n) 或者 n/2 ，看能不能整除 n，若能整除就不是素数。

bool judge(int n){
    if(n==1)//为1时，不是
        return false;

    for(int i=2;i

 2.筛法判断

当数据范围较大且需要多次查询的情况下，判断素数可以首先利用筛法筛出所有素数，然后再进行判断

int primes[N],cnt;
bool bPrime[N];
void getPrimes(int n){
    memset(bPrime,false,sizeof(bPrime));
 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!bPrime[i])
            primes[cnt++]=i;
 
        for(int j=0;j

3.Miller-Rabin 算法

Miller-Rabin 算法是一个随机算法，随机生成几个 a 利用费马小定理与二次探测定理来检测素数。

只需要多次寻找不超过 n-1 基并检验是否有 ， 如果一直有， 那么这个数大概率就是一个素数，否则可以立即判定这个数是个合数。

虽然看似没有问题，但却存在一些数，对于 a 的某些选择可以骗过该算法，这些数虽然不是素数，但却对所有与 p 互素的 0，因此，还需要附加二次探测定理的测试来改进不出错的几率。

LL Mult_Mod(LL a,LL b,LL m)//res=(a*b)%m
{
    a%=m;
    b%=m;
    LL res=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=(res+a)%m;
        a=(a<<=1)%m;
        b>>=1;
    }
    return res%m;
}
LL Pow_Mod(LL a, LL b, LL m)//res=(a^b)%m
{
    LL res=1;
    LL k=a;
    while(b)
    {
        if((b&1))
            res=Mult_Mod(res,k,m)%m;

        k=Mult_Mod(k,k,m)%m;
        b>>=1;
    }
    return res%m;
}
bool Witness(LL a,LL n,LL x,LL sum)
{
    LL judge=Pow_Mod(a,x,n);
    if(judge==n-1||judge==1)
        return 1;

    while(sum--)
    {
        judge=Mult_Mod(judge,judge,n);
        if(judge==n-1)
            return 1;
    }
    return 0;
}
bool Miller_Rabin(LL n)
{
    if(n<2)
        return 0;
    if(n==2)
        return 1;
    if((n&1)==0)
        return 0;

    LL x=n-1;
    LL sum=0;
    while(x%2==0)
    {
        x>>=1;
        sum++;
    }


    int times=20;
    for(LL i=1;i<=times;i++)
    {
        LL a=rand()%(n-1)+1;//取与p互质的整数a
        if(!Witness(a,n,x,sum))//费马小定理的随机数检验
            return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    int p;
    cin>>p;

    if(Miller_Rabin(p))
        cout<

【例题】

1. 回文质数（洛谷-P1217）(构造回文+判素数)：点击这里
2. 哥德巴赫猜想（升级版）（洛谷-P1579）(试除法判素数)：点击这里
3. Goldbach's Conjecture（POJ-2262）(试除法判素数)：点击这里
4. Pseudoprime numbers（POJ-3641）(快速幂取模+判素数)：点击这里
5. Reversing Encryption（CF-999B）(素数打表)：点击这里
6. Bi-shoe and Phi-shoe（LightOJ-1370）(素数打表)：点击这里
7. Primes （Gym-102267B）(素数打表+暴力)：点击这里
8. 处女座的测验（一）（2019牛客寒假算法基础集训营 Day2-H）(素数打表+积性函数的推导)：点击这里
9. 处女座的测验（二）（2019牛客寒假算法基础集训营 Day2-I）(素数打表+素因子与最高次幂+剪枝)：点击这里
10. Sum of Consecutive Prime Numbers（POJ-2739）(线性筛素数+打表+dfs)：点击这里
11. Prime Gap（POJ-3518）(快速线性筛素数+打表判断)：点击这里
12. Prime Cuts（POJ-1595）(快速线性筛素数+打表判断)：点击这里
13. Goldbach's Conjecture（HDU-1397）(快速线性筛素数+打表判断)：点击这里
14. Primes on Interval（CF-237C）(素数打表+前缀和优化+二分)：点击这里
15. Minimal Power of Prime（HDU-6623）(线性筛+思维)：点击这里
16. TDL（HDU-6641）(质数密度分布定理+异或性质)：点击这里