同构

同构

• 实数域R上欧氏空间$V,V^{\prime }$称为同构的，如果从$V\to V^{\prime }$有一个双射$\sigma$满足
  • ①$\sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta )$
  • ②$\sigma (k\alpha )=k\sigma (\alpha )$
  • ③$(\sigma (\alpha ),\sigma (\beta ))=(\alpha ,\beta )$这里$k\in \mathbb{R},\alpha ,\beta \in V$
• 这样的映射$\sigma$称为$V\to V^{\prime }$的同构映射
• 从上看出，若$\sigma$是满足欧氏空间$V\to V^{\prime }$的同构映射，则它也是$V\to V^{\prime }$在线性空间中的额同构映射，故： 同构的欧氏空间必有相同的维数
• 每个n维欧氏空间都与${\mathbb{R}}^n$同构：
  • V是个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基${\epsilon }_1,...,{\epsilon }_n$,在这组基下，任意V中的向量可表示为$$\alpha =x_1{\epsilon }_1+...+x_n{\epsilon }_n$$令$$\sigma (\alpha )=(x_1,...x_n)\in {\mathbb{R}}^n$$这是$V\to {\mathbb{R}}^n$的一个双射
• 同构具有自反性，对称性和传递性

两个有限维欧氏空间同构的充要条件是：它们的维数相同