第六章图（3）
6.6 有向无环图及其应用
- AOV网：
AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。
AOV网特点：
1.AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。
2.AOV网中不能出现回路 。
拓扑序列：
设G=(V，E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1, v2, …, vn称为一个拓扑序列，当且仅当满足下列条件：若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点的拓扑序列中顶点vi必在顶点vj之前。
拓扑排序：对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序 。
拓扑序列使得AOV网中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。
基本思想：
⑴ 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并且输出；
⑵ 从AOV网中删去该顶点，并且删去所有以该顶点为尾的弧；
⑶ 重复上述两步，直到全部顶点都被输出，或AOV网中不存在没有前驱的顶点。
数据结构：
1、 图的存储结构：采用邻接表存储 ，在顶点表中增加一个入度域。
2、栈S：存储所有无前驱的顶点(入度为零的顶点)。
基于邻接表的拓扑排序的基本思想：
（1）找G中无前驱的顶点，查找indegree ［i］为零的顶点vi；
（2）修改邻接于顶点i的顶点的入度（删除以i为起点的所有弧）
对链在顶点i后面的所有邻接顶点k，将对应的indegree［k］ 减1。
为了避免重复检测入度为零的顶点，可以再设置一个辅助栈，若某一顶点的入度减为0，则将它入栈。每当输出某一入度为0的顶点时，便将它从栈中删除。
伪代码：
- 栈S初始化；累加器count初始化；
- 扫描顶点表，将没有前驱的顶点压栈；
- 当栈S非空时循环
3.1 vj=退出栈顶元素；输出vj；累加器加1；
3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1；
3.3 将新的入度为0的顶点入栈； - if (count
void TOpSort(){
int top=-1, count=0;
for(int i=0;i<vertexnum;i++)
if(adjlist[i].in==0) s[++top]=i;
while(top!=-1){
j=s[top--]; cout <<adjlist[j].vertext; count++;
p=adjlist[j].firstedge;
while(p!=NULL){
k=p->adjvex; adjlist[k].in--;
if(adjlist[k].in==0) s[top++]=k;
p=p->next;
}
}
If (count<vertexNum) cout<<“有回路”；
}
- 关键路径
AOE网：
在一个表示工程的带权有向图中，
用顶点表示事件，
用有向边表示活动，
边上的权值表示活动的持续时间，
称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。
AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。
AOE网的性质：
⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；
⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。
完成整个工程至少需要多少时间?
从始点到终点的路径可能不止一条，只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。
因此，完成整个工程所需的最短时间取决于从始点到终点的最长路径长度，即这条路径上所有活动的持续时间之和。
这条路径长度最长的路径就叫做关键路径。
关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。
关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。
要找出关键路径，必须找出关键活动, 即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。
首先计算以下与关键活动有关的量：
⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
⑶ 活动的最早开始时间e[i]
⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
最后计算各个活动的时间余量 l[k] - e[k]，时间余量为0者即为关键活动。
存储结构的选择：
为处理方便，同时采用了邻接矩阵和边集数组两种存储结构。
邻接矩阵可以方便的查找邻接点，完成时间的最早和最晚发生时间的计算。
边集数组可以方便的计算时间的活动的最晚发生时间
struct Edge{
int from;
int to;
int e;
int l;
};
class Grap{
int vertexnum,e;
int **adjlist; //邻接矩阵
int start,end;
Edge *edge; //边集数组
public:
Grap(int n,int e);
int path();
};
⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。
ve[1]=0
ve[k]=max{ve[j]+len
p[k]表示所有到达vk的有向边的集合
q.push(0);//源点事件入队
for(j=0;j<vertexnum;j++) { //初始化每个事件最早发生时间
ve[j]=0; visit[j]=0; }
visit[0]=1;
while(!q.empty()) {
i=q.front(); //利用标准模板库中的队列实现
q.pop();
for(j=0;j<vertexnum;j++){//计算i的邻接点的ve
if(adjlist[i][j]!=9999 && ve[i]+adjlist[i][j]>ve[j] ){
ve[j]=ve[i]+adjlist[i][j];
if(!visit[j]) //如果j没有被访问过，顶点j入队
q.push(j);
visit[j]=1;
}
}
}
⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间。
vl[n]=ve[n]
vl[k]=min{vl[j]-len
s[k]为所有从vk发出的有向边的集合
q.push(vertexnum-1);
for(j=0;j<vertexnum;j++) {
vl[j]=ve[vertexnum-1]; visit[j]=0; }
while(!q.empty()) {
i=q.front();
q.pop();
for(j=0;j<vertexnum;j++) {
if(adjlist[j][i]!=9999 && vl[i]-adjlist[j][i]<vl[j] ){
vl[j]=vl[i]-adjlist[j][i];
if(!visit[j])
q.push(j);
visit[j]=1;
}
}
}
⑶ 活动的最早开始时间e[i]
若活动ai是由弧
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
}
⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai必须开始的最晚时间。
若ai由弧
则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。
因此，有：l[i]=vl[j]-len
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
edge[i].l=vl[edge[i].to]-adjlist[edge[i].from][edge[i].to];
}
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
edge[i].l=vl[edge[i].to]-adjlist[edge[i].from][edge[i].to];
if(edge[i].e==edge[i].l)
cout<<edge[i].from<<" "<<edge[i].to<<endl;
}
- 图的连通性
无向图的连通性
要想判定一个无向图是否为连通图，或有几个连通分量，通过对无向图遍历即可得到结果。
连通图：仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索（或广度优先搜索），便可访问到图中所有顶点。
非连通图：需从多个顶点出发进行搜索，而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。
求无向图的连通分量（非连通图的遍历方法） 有向图的连通性
1、count=0;
2、for (图中每个顶点v)
2.1 if (v尚未被访问过)
2.1.1 count++;
2.1.2 从v出发遍历该图（函数调用）；
3、if (count==1) cout<<“图是连通的”;
else cout<<“图中有”<
要想判定一个有向图是否为连通图，或有几个连通分量，能否通过简单的遍历得到呢？
有向图的连通子图的求解过程
⑴ 从某顶点出发进行深度优先遍历，并按其所有邻接点都访问完（即出栈）的顺序将顶点排列起来。
⑵ 从最后完成访问的顶点出发，沿着以该顶点为头的弧作逆向的深度优先遍历。若不能访问到所有顶点，则从余下的顶点中最后访问的那个顶点出发，继续作逆向的深度优先遍历，直至有向图中所有顶点都被访问到为止。