编辑本段定义
在
数学中,
数量积(dot product; scalar product,也称为
标量积、
点积、
点乘)是接受在实数
R上的两个
矢量并返回一个实数值
标量的
二元运算。它是
欧几里得空间的标准
内积。
两个矢量
a = [
a1,
a2,…,
an]和
b = [
b1,
b2,…,
bn]的点积定义为:
这里的Σ指示总和符号。
使用
矩阵乘法并把(纵列)矢量当作
n×1
矩阵,点积还可以写为:
a·b=a^t*b,这里的
a指示矩阵
a的
转置。
编辑本段简介
点积的值由以下三个值确定:
u的大小v的大小u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下,点积如果为负,则u,v形成的角大于90度;如果为零,那么u,v垂直;如果为正,那么u,v形成的角为锐角。
点积
点积得到两个向量的夹角的cos值,通过它可以知道两个向量的相似性,利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机
向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。
编辑本段运算律
1.交换律:α·β=β·α 2.分配律:(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ为数:(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λ、μ为数::(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|^2 ,此外:α·α=0〈=〉α=0。 向量的数量积不满足消去律,即一般情况下:α·β=α·γ,α≠0 ≠〉β=γ。 向量的数量积不满足结合律,即一般(α·β)·γ ≠〉α·(β·γ) 相互垂直的两向量数量积为0
编辑本段坐标表示
已知两个非零向量
a=(x1,y1),
b=(x2,y2),则有
a·
b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
编辑本段应用
平面向量的数量积
a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等 如证明勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,则
|
CA|+|
CB|=|
AB|: 因
AB =
CB-
CA,
所以
AB·AB =(
CB-
CA)·(
CB-
CA)=
CB·CB-2
CA·
CB+
CA·CA; 由∠C=90°,有CA⊥BD,于是
CA·CB=0 所以|
CA|+|
CB|=|
AB| 菱形对角线相互垂直: 菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点,求证AC⊥BD 设|
AB|=|
BC|
=|
CD|
=|
DA|
=a 因
AC=AB+BC;BD=BC+CD
所以
AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ) 又因为cosα=-cosπ-α
所以
AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α )=0
AC⊥B D
在生产生活中,点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物理离光照的轴线越近,光照越强。物理中,点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量,则点积即为a在方向b的投影,即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断,如两矢量点积大于0,则它们的方向朝向相近;如果小于0,则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一,此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。