叉积与点积

叉积

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叉积，又名叉乘。 最早源自于三维向量空间的运算，因此也叫向量的外积，或者向量积。 两个三维向量的叉积等于一个新的向量， 该向量与前两者垂直，且长度为前两者张成的平行四边形面积， 其方向按照右手螺旋决定。

目录

数学定义

数学性质

二重向量叉乘

应用

推广

编辑本段数学定义

　　在三维 向量空间中 ， 假设a和b是两个向量， 那么它们的叉积c=aXb可如下严格定义。

　　（1）|c|=|a×b|=|a||b|sin

　　（2）c⊥a， 且c⊥b，

　　（3）c的方向要用“右手法则”判断（用右手的大拇指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，中

  

指所指的方向就是向量c的方向）。

　　英文名：cross product

编辑本段数学性质

　　（1）反对称性： a×b=-b×a

　　因此向量的叉积不遵守乘法交换律。

　　（2） 向量叉积的坐标表示：

　　设a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)，

　　则 a×b=

　　| i j k|

　　|a1 b1 c1|

　　|a2 b2 c2|

　　=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

　　（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。

　　（3）混合积： (aXb)·c等于a,b,c 张成的三维平行体的体积。

编辑本段二重向量叉乘

　　由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：

  

二重向量叉乘化简公式及证明

编辑本段应用

　　在物理学中，已知力与力臂求 力矩，就是向量的外积，即叉乘。

　　同样用叉积表示的公式有: F = I ( L × B ) (磁场中通电导体所受的安培力)

　　在数学中，可以用两个向量的叉积表示这两个向量所在的平面的法向量。

　　平行四边形的面积可以用平行四边形两邻边的叉积表示，面积是一个矢量，长度也是矢量。

　　平行六面体的体积可以用过同一顶点的三边的混合积表示。

　　叉积可以用来判断平面向量夹角的正负。对于向量 a、 b，a×b=axby-bxay，其值大于0则夹角为正。

　　叉积推广到 高维向量空间中，就是所谓的 外积，由 格拉斯曼首创。 因此它也可看成是 张量积的一种特例

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

点积

目录

定义

简介

运算律

坐标表示

应用

编辑本段定义

　　在 数学中， 数量积（dot product; scalar product，也称为 标量积、 点积、 点乘）是接受在实数 R上的两个 矢量并返回一个实数值 标量的 二元运算。它是 欧几里得空间的标准 内积。

　　两个矢量 a = [ a1, a2,…, an]和 b = [ b1, b2,…, bn]的点积定义为:

  

　　这里的Σ指示总和符号。

　　使用 矩阵乘法并把（纵列）矢量当作 n×1 矩阵，点积还可以写为:

　　a·b=a^t*b，这里的 a指示矩阵 a的 转置。

编辑本段简介

　　点积的值由以下三个值确定：

　　u的大小v的大小u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

  

点积

　　点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机

　　向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。

编辑本段运算律

　　1.交换律：α·β=β·α　2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ　3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)　若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)　4.α·α=|α|^2 ，此外：α·α=0〈=〉α=0。　向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。　向量的数量积不满足结合律，即一般（α·β)·γ ≠〉α·（β·γ）　相互垂直的两向量数量积为0

编辑本段坐标表示

　　已知两个非零向量 a=（x1，y1）， b=（x2，y2），则有 a· b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

编辑本段应用

　　平面向量的数量积 a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等　如证明勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则

  

| CA|+| CB|=| AB|：　因 AB = CB- CA，

　　所以 AB·AB =（ CB- CA）·（ CB- CA）= CB·CB-2 CA· CB+ CA·CA;　由∠C=90°，有CA⊥BD，于是 CA·CB=0　所以| CA|+| CB|=| AB|　菱形对角线相互垂直：　菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD　设| AB|=| BC| =| CD| =| DA| =a　因 AC=AB+BC;BD=BC+CD　　

　　所以 AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）　又因为cosα=-cosπ-α

  

所以 AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）=0　 AC⊥B　　D　　

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。