编辑本段定义
在
数学中，
数量积（dot product; scalar product，也称为
标量积、
点积、
点乘）是接受在实数
R上的两个
矢量并返回一个实数值
标量的
二元运算。它是
欧几里得空间的标准
内积。
两个矢量
a = [
a1,
a2,…,
an]和
b = [
b1,
b2,…,
bn]的点积定义为:
这里的Σ指示总和符号。
使用
矩阵乘法并把（纵列）矢量当作
n×1
矩阵，点积还可以写为:
a·b=a^t*b，这里的
a指示矩阵
a的
转置。
编辑本段简介
点积的值由以下三个值确定：
u的大小v的大小u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。
点积
点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机
向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。
编辑本段运算律
1.交换律：α·β=β·α 2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|^2 ，此外：α·α=0〈=〉α=0。 向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。 向量的数量积不满足结合律，即一般（α·β)·γ ≠〉α·（β·γ） 相互垂直的两向量数量积为0
编辑本段坐标表示
已知两个非零向量
a=（x1，y1），
b=（x2，y2），则有
a·
b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
编辑本段应用
平面向量的数量积
a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等 如证明勾股定理： Rt△ABC中，∠C=90°，则
|
CA|+|
CB|=|
AB|： 因
AB =
CB-
CA，
所以
AB·AB =（
CB-
CA）·（
CB-
CA）=
CB·CB-2
CA·
CB+
CA·CA; 由∠C=90°，有CA⊥BD，于是
CA·CB=0 所以|
CA|+|
CB|=|
AB| 菱形对角线相互垂直： 菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD 设|
AB|=|
BC|
=|
CD|
=|
DA|
=a 因
AC=AB+BC;BD=BC+CD
所以
AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ） 又因为cosα=-cosπ-α
所以
AC·BD=(AB+BC)(BC+CD)=a^2(2cosα+2cosπ-α ）=0
AC⊥B D
在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染（Animation-Rendering）。
