2019.4.13 提高A组 T3 JZOJ 3171 重心

$Description$

给你$N$个长2高$h$的矩形的质量$m_i$，这N个矩形被放置在笛卡尔坐标系中：

1.矩形的四条边平行于坐标轴；

2.每个矩形下面的水平边的$y$坐标值互不相同，分别是$0,h,2h,3h,...,(n-1)h$；

3.最下面的矩形的左下角坐标为(-2,0)，即右下角在原点处。

一种矩形的摆放方式是稳定的，当且仅当满足：每个矩形上面的所有矩形的$x$重心跟该矩形的$x$中点相距不超过1。上面左图是不稳定的而右图是稳定的。

给你$n$个矩形的质量，要求在不改变矩形的上下顺序的前提下找到一种稳定的摆放方式，同时输出所有稳定摆放方式中最右边矩形右下角$x$坐标的最大值。

数据范围：$n\le 3\times 10^5$

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$Solution$

首先若$x$满足要求，则$x-1$也满足要求，二分答案转判定即可，时间复杂度$O(nlogn)$

但实际上，它的公式已经给出，假设我们不考虑稳定，直接套公式即可，若考虑稳定，只需要判断距离是否超过即可，时间复杂度$O(n)$

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$O(nlogn)Code$

#include
#include
#include
#define eps 1e-9
using namespace std;int n;
long long m[300001],s[300001];
double l,r,mid;
inline long long read()
{
    char c;long long f=0,d=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    return d*f;
}
inline bool check(double x)
{
	double nowc=1e9;
	for(register int i=n;i>1;i--) 
	 nowc=min((nowc*s[i+1]+m[i]*(nowc-1))/s[i],((x-2)*s[i+1]+(x-1)*m[i])/s[i]);
	return nowc<=0;
}
signed main()
{
	n=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++) m[i]=read();
	for(register int i=n;i>0;i--) s[i]=s[i+1]+m[i];
	l=0;r=n;
	for(mid=n/2;r-l>eps;mid=(l+r)/2.0) 
	if(check(mid)) l=mid;else r=mid;
	printf("%0.6f",l);
}

---

$O(n)Code$

#include
#include
#include
using namespace std;int n;
long long m[300001];
double ans,s;
inline long long read()
{
    char c;long long f=0,d=1;
    while(c=getchar(),!isdigit(c)) if(c=='-') d=-1;f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    while(c=getchar(),isdigit(c)) f=(f<<3)+(f<<1)+c-48;
    return d*f;
}
signed main()
{
	n=read();
	for(register int i=1;i<=n;i++) m[i]=read();
	for(register int i=n;i>1;i--) 
	{
		s+=m[i];
		ans=max(m[i]/s+ans,2-m[i]/s);
	}
	printf("%.7lf",ans);
}