背包九讲2——完全背包问题的理解（Java图解）
题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路
这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令dp[i][j]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
完全背包的模板代码：
//N为物品数量
//W为背包总体积
//weights[]为每个物品的体积
//values[]为每个物品的价值
public int completeKnapsack(int N, int W, int[] weights, int[] values){
int[] dp = new int[W+1];
for(int i = 1; i <= N; i++){
int w = weights[i-1], v = values[i-1];//每个物品的体积和价值
for(int j = W; j >= w; j--){ //逆序
for(int k = 0; k * w <= j; k++){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-k*w]+k*v);
}
}
}
return dp[W];
}
那么我们只用一维数组记录，空间优化后的状态转移方程：
完全背包空间优化模板：
//N为物品数量
//W为背包总体积
//weights[]为每个物品的体积
//values[]为每个物品的价值
public int completeKnapsack(int N, int W, int[] weights, int[] values){
int[] dp = new int[W+1];
for(int i = 1; i <= N; i++){
int w = weights[i-1], v = values[i-1];//每个物品的体积和价值
for(int j = w; j <= W; j++){ //顺序
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-w]+v);
}
}
return dp[W];
}注意：完全背包的两层for循环的次序是可以颠倒的。
如何理解空间优化模板中背包容量需要顺序遍历（对比01背包中的逆序遍历）？
对于转移方程dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-w]+v), 背包容量顺序遍历的话，dp[i-1][j-v]会被dp[i][j-v]所覆盖。所以，
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-w]+v).理解，
特别注意，dp[i][j-w]+v代表着是前i个物品体积为j-w的最优解，再放入一个第i个物品的最优解。而dp[i][j-w]中可能已经有0, 1, 2, 3...个第i个物品。
举个例子：
N = 3， W = 3
dp[3][4] = Math.max(dp[2][4], dp[3][3]+2) = 8
总结：
01背包，背包容量逆序遍历，dp[j-w]代表dp[i-1][j-w];
完全背包，背包容量顺序遍历，dp[j-w]代表dp[i][j-w];
推荐：
背包九讲1——01背包问题的理解（Java图解）
https://blog.csdn.net/caigen0001/article/details/106698380
背包九讲2——完全背包问题的理解（Java图解）
https://blog.csdn.net/caigen0001/article/details/106711469
背包九讲3——多重背包问题的理解（Java图解）
https://blog.csdn.net/caigen0001/article/details/106720118
背包九讲4——二维背包问题的理解（Java图解）
https://blog.csdn.net/caigen0001/article/details/106720280
参考资料：
背包九讲 https://github.com/tianyicui/pack
背包九讲专题 https://www.bilibili.com/video/BV1qt411Z7nE?from=search&seid=6165804124910947817