堆及其应用
1.如何理解堆？
首先我们必须明确一点：堆是一种特殊的树。严格意义上来说：堆是一种特殊的完全二叉树。
- 堆是一个完全二叉树。
- 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们称之为“大顶堆”。反之称之为“小顶堆”。
2.如何实现一个堆？
要实现一个堆，我们先要知道，堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。
首先，完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。
知道了如何存储一个堆，那我们再来看一下堆上的操作有哪些呢？
2.1 向堆中插入一个元素
堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。
如果我们把新插入的元素放到堆的最后，你可以看我画的这个图，是不是不符合堆的特性了？
于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫作堆化（heapify）。堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法。
堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后进行交换。
我们来看一下上面堆化的代码：
public class Heap{
private int[] a;//数组,从下标1开始存储数据
private int n;//堆可以存储的最大数据个数
private int count;//堆中已经存储的数据个数
public Heap(int capacity){
a=new int[capacity+1];//capacity表示堆可以存储的最大数据个数，因为其是从1开始存储的，举个例子如果堆的最大容量是3，则这个数组至少为0123才能存储下，所以数组的容量要设置为4
n=capacity;
count=0;
}
public void insert(int data){
if(count>=n)return;//堆满了
++count;
a[count]=data;
int i=count;
while(i/2>0&&a[i]>a[i/2]){//自下往上堆化
swap(a,i,i/2);
i=i/2;
}
}
}
这里有一点需要注意一下：无论是左子树是i还是右子树是i，他们的父节点的坐标都是i/2。
2.2 删除堆顶元素
从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或者小于等于）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。
假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。这里我也画了一个分解图。不过这种方法有点问题，就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。
实际上，我们稍微改变一下思路，就可以解决这个问题。你看我画的下面这幅图。我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。
因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。
public void removeMax(){
if(count==0)return;
a[1]=a[count];//交换最后一个元素
--count;
heapify(a,count,1);//堆化处理
}
private void heapify(int[] a,int n,int i){//自上向下堆化，这里的n代表堆化的底部元素存储位置，i代表堆化的顶部元素存储位置
while(true){
int temp=1;
if(i*2<=n&&a[i]<a[i*2])temp=i*2;
if(i*2+1<=n&&a[temp]<a[i*2+1])temp=i*2;//注意这个a[temp]
if(temp==i)break;
swap(a,i,temp);
i=temp;
}
}
我们知道，一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2(n)。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。
3.如何实现堆排序？
堆排序的过程大致分解为两个大的步骤，建堆和排序。
3.1 建堆
我们首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。
思路就是我们前面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。
3.2 排序
建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。
public static void sort(int[] a,int n){
buildHeap(a,n);
int k=n;
while(k>1){
swap(a,1,k);
--k;
heapify(a,k,1);
}
}
4.堆的应用
4.1 优先级队列
优先级队列，顾名思义，它首先应该是一个队列。我们前面讲过，队列最大的特性就是先进先出。不过，在优先级队列中，数据的出队顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队。
如何实现一个优先级队列呢？方法有很多，但是用堆来实现是最直接、最高效的。这是因为，堆和优先级队列非常相似。一个堆就可以看作一个优先级队列。很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。
你可别小看这个优先级队列，它的应用场景非常多。我们后面要讲的很多数据结构和算法都要依赖它。比如，赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等等。不仅如此，很多语言中，都提供了优先级队列的实现，比如，Java 的 PriorityQueue，C++ 的 priority_queue 等。
4.2 利用堆顶求TopK
我把这种求 Top K 的问题抽象成两类。一类是针对静态数据集合，也就是说数据集合事先确定，不会再变。另一类是针对动态数据集合，也就是说数据集合事先并不确定，有数据动态地加入到集合中。
针对静态数据，如何在一个包含 n 个数据的数组中，查找前 K 大数据呢？我们可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。
遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化操作需要 O(logK) 的时间复杂度，所以最坏情况下，n 个元素都入堆一次，时间复杂度就是 O(nlogK)。
针对动态数据求得 Top K 就是实时 Top K。怎么理解呢？我举一个例子。一个数据集合中有两个操作，一个是添加数据，另一个询问当前的前 K 大数据。
如果每次询问前 K 大数据，我们都基于当前的数据重新计算的话，那时间复杂度就是 O(nlogK)，n 表示当前的数据的大小。实际上，我们可以一直都维护一个 K 大小的小顶堆，当有数据被添加到集合中时，我们就拿它与堆顶的元素对比。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理。这样，无论任何时候需要查询当前的前 K 大数据，我们都可以立刻返回给他。
4.3 利用堆求中位数
中位数，顾名思义，就是处在中间位置的那个数。如果数据的个数是奇数，把数据从小到大排列，那第 n/2+1 个数据就是中位数（注意：假设数据是从 0 开始编号的）；如果数据的个数是偶数的话，那处于中间位置的数据有两个，第 n/2 个和第 n/2+1 个数据，这个时候，我们可以随意取一个作为中位数，比如取两个数中靠前的那个，就是第 n/2 个数据
我们需要维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆中存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。
也就是说，如果有 n 个数据，n 是偶数，我们从小到大排序，那前 n/2 个数据存储在大顶堆中，后 n/2 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。如果 n 是奇数，情况是类似的，大顶堆就存储 n/2+1 个数据，小顶堆中就存储 n/2 个数据。
我们前面也提到，数据是动态变化的，当新添加一个数据的时候，我们如何调整两个堆，让大顶堆中的堆顶元素继续是中位数呢？
如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆；否则，我们就将这个新数据插入到小顶堆。
这个时候就有可能出现，两个堆中的数据个数不符合前面约定的情况：如果 n 是偶数，两个堆中的数据个数都是 n/2；如果 n 是奇数，大顶堆有 n/2+1 个数据，小顶堆有 n/2 个数据。这个时候，我们可以从一个堆中不停地将堆顶元素移动到另一个堆，通过这样的调整，来让两个堆中的数据满足上面的约定。
于是，我们就可以利用两个堆，一个大顶堆、一个小顶堆，实现在动态数据集合中求中位数的操作。插入数据因为需要涉及堆化，所以时间复杂度变成了 O(logn)，但是求中位数我们只需要返回大顶堆的堆顶元素就可以了，所以时间复杂度就是 O(1)。
实际上，利用两个堆不仅可以快速求出中位数，还可以快速求其他百分位的数据，原理是类似的。
“如何快速求接口的 99% 响应时间？”我们现在就来看下，利用两个堆如何来实现。
在开始这个问题的讲解之前，我先解释一下，什么是“99% 响应时间”。中位数的概念就是将数据从小到大排列，处于中间位置，就叫中位数，这个数据会大于等于前面 50% 的数据。99 百分位数的概念可以类比中位数，如果将一组数据从小到大排列，这个 99 百分位数就是大于前面 99% 数据的那个数据。如果你还是不太理解，我再举个例子。假设有 100 个数据，分别是 1，2，3，……，100，那 99 百分位数就是 99，因为小于等于 99 的数占总个数的 99%。
弄懂了这个概念，我们再来看 99% 响应时间。如果有 100 个接口访问请求，每个接口请求的响应时间都不同，比如 55 毫秒、100 毫秒、23 毫秒等，我们把这 100 个接口的响应时间按照从小到大排列，排在第 99 的那个数据就是 99% 响应时间，也叫 99 百分位响应时间。
我们总结一下，如果有 n 个数据，将数据从小到大排列之后，99 百分位数大约就是第 n99% 个数据，同类，80 百分位数大约就是第 n80% 个数据。
我们维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。假设当前总数据的个数是 n，大顶堆中保存 n99% 个数据，小顶堆中保存 n1% 个数据。大顶堆堆顶的数据就是我们要找的 99% 响应时间。
每次插入一个数据的时候，我们要判断这个数据跟大顶堆和小顶堆堆顶数据的大小关系，然后决定插入到哪个堆中。如果这个新插入的数据比大顶堆的堆顶数据小，那就插入大顶堆；如果这个新插入的数据比小顶堆的堆顶数据大，那就插入小顶堆。
但是，为了保持大顶堆中的数据占 99%，小顶堆中的数据占 1%，在每次新插入数据之后，我们都要重新计算，这个时候大顶堆和小顶堆中的数据个数，是否还符合 99:1 这个比例。如果不符合，我们就将一个堆中的数据移动到另一个堆，直到满足这个比例。移动的方法类似前面求中位数的方法，这里我就不啰嗦了。
通过这样的方法，每次插入数据，可能会涉及几个数据的堆化操作，所以时间复杂度是 O(logn)。每次求 99% 响应时间的时候，直接返回大顶堆中的堆顶数据即可，时间复杂度是 O(1)。