控制理论——自动控制原理若干概念

1. 对自动控制系统的基本要求

稳定性

被控量因扰动偏离期望值后，经过过渡过程可以恢复到原来的期望值状态

快速性

包含两方面：过渡过程的时间、最大超调量（震荡幅度）

准确性

指稳态误差：系统最终稳态值与期望值之间的误差

运动的模态

在数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成
通解由微分方程的特征根所决定，代表自由运动。

• 如果n阶微分方程的特征根是${\lambda }_1$、${\lambda }_2$……${\lambda }_n$且无重根，则系统的模态为：$e^{{\lambda }_1}$、$e^{{\lambda }_1}$……$e^{{\lambda }_1}$
• 如果特征根中有多重根$\lambda$，则系统的模态为$t\lambda$、$t^2\lambda$……
• 如果特征根中有复数根$\lambda =\sigma +j\omega$，则系统的模态为$e^{\sigma t}sin(\omega t)$、$e^{\sigma t}cos(\omega t)$

传递函数的零极点

传递函数多项式经因式分解后，分子多项式的零点$z_i$为传递函数的零点，分母多项式的极点$p_i$传递函数的极点

• 传递函数的极点可以受输入的激发，在响应中形成自由运动的模态；
• 传递函数的零点不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应中占的比重，因此也影响曲线的形状

二阶系统的欠阻尼阶跃响应

二阶系统开环传递函数的标准形式：$G(s)=K/s(T_{m}s+1)$
→闭环传递函数：$\Phi (s)={\omega }_n^2/(s^2+2\xi {\omega }_n+{\omega }_n^2)$，其中${\omega }_n=\sqrt{k/T_m}$，$\xi =1/2\sqrt{T_{m}K}$

改善二阶系统性能的方法

1. PD控制
   可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降、调节时间缩短，不影响系统的常值误差和自然角频率，但对高频噪声敏感
2. 测速反馈
   增大了系统阻尼，不影响自然角频率，但会降低开环增益，增大稳态误差

高阶系统的闭环阶跃响应

• 类型：取决于闭环极点的性质与大小，闭环极点负实部越大，衰减越迅速
• 形状：取决于闭环零点，闭环零点负实部越大，振动幅度越大
• 闭环零点对系统动态性能的影响：减小峰值时间，增大超调量，加快动态响应，减小系统阻尼
• 闭环非主导极点对系统动态性能的影响：增大峰值时间，减小超调量，延缓动态响应，增大系统阻尼

减小或消除稳态误差的方法

1. 增大系统开环增益或扰动点之前的开环增益
2. 在系统的前向或主反馈通道中设置串联积分环节
3. 采用串级控制抑制内回路扰动
4. 采用前馈和反馈相结合的复合控制方法（如PI控制器）

根轨迹方法

闭环零极点与开环零极点的关系

1. 闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益
2. 闭环系统的零点由开环系统的零点和反馈通路传递函数的极点组成
3. 闭环极点与开环极点、开环零点及根轨迹增益均有关

闭环零极点对时间响应性能的影响

1. 稳定性：只与闭环极点位置有关
2. 运动形式：实数极点单调，复数极点震荡
3. 超调量：取决于复数主导极点的衰减率
4. 调节时间：取决于复数主导极点的实部绝对值或实数极点的模值
5. 实数零极点的影响：

• 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；
• 极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小

6. 偶极子：如果零极点之间的距离比它们本身的模值少一个数量级，则构成偶极子。远离原点的偶极子影响可忽略
7. 主导极点：比其实部大3~6倍以上的闭环零极点影响可忽略

频域分析法

1. 基本概念

• 最小相位环节：开环零极点在s左半平面

  非最小相位环节：开环零极点在s右半平面

• 截止频率${\omega }_c$：对数幅频特性为0

  穿越频率${\omega }_x$：穿越-π线

• 相角裕度$\gamma =180°+\angle [G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)]$

  对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态

• 幅值裕度$h(dB)=-20lg|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|$

  对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态

• 带宽频率${\omega }_b$：0.707|Φ(j0)|(dB)时的频率

  带宽：$(0,{\omega }_b)$

2. 设计的原则

• 对于最小相位系统，只有当相角裕度和幅值裕度都是正值时，系统才是稳定的。为了得到满意的性能，相角裕度应当为30~60°（45°左右），幅值裕度应大于6dB，截止频率处的斜率为-20dB/dec，同时中频段占据一定的频率范围。非最小相位系统一般采用极坐标图法