拉塞尔不变性定理 ( LaSalle's invariance principle )

最近想复习一下现代控制理论，在B站看到了DR_CAN大神做的视频，但对其中涉及的拉塞尔不变性定理理解地不太好，特地查了一下，写下来与君分享。

1、介绍

拉塞尔不变性定理是对Lyapunov直接法(Lyapunov第二法)的补充，它能在系统的$\dot{V}$半负定时也得到一个平衡点是渐近稳定的。但是需要注意，这个定理只能用于自治系统。自治系统指的是，系统的微分方程不显含时间$t$的系统。如果想看严格的定理描述，大家可以去这个链接看，我会结合维基百科上的描述来解释。

2、较(bu)好(tai)理(yan)解(ge)的理论描述

对于系统：
$$\dot{x}(t)=f(x(t))$$
满足$f(0)=0$。
首先我们要明白，一个系统的状态的有无数条轨迹，从不同的初始时刻开始，状态$x$会沿不同的轨迹线运行。用$s(x,t,x_0,t_0)$表示一条解的轨迹，它从$t_0$时刻的$x_0$开始，到$t$时刻的$x$，$s(x,t,x_0,t_0)$上的点称为包含于轨迹$s$的聚点。
假设集合$A=\{x:\dot{V}(x)=0\}$，它表示所有满足$\dot{V}(x)=0$的聚点的集合。$s$表示一条轨迹，它上面的聚点包含于$A$，所有$s$的集合为$I$。这段话仔细看一下，比较绕。
如果可以找到一个标量函数$V(x(t))$，$V(0)=0$，且对所有非零$x(t)$满足：
$$\begin{gathered} V(x)>0 \\ \dot{V}(x)\le 0 \end{gathered}$$
即$V(x)$正定，$\dot{V}(x)$半负定。
并且，如果除了$x(t)=0（t\ge 0）$这条轨迹（其实就是从初始状态$x(t_0)=0$开始，状态一直没变，也就是$x(t)\equiv 0$(在$(t_0,t)$这段时间内），没有其他轨迹包含于$I$中，那么$x=0$这个状态点是渐近稳定的。
理解这个定理的关键是，理解轨迹$x(t)=0$和状态点$x=0$这两个概念的区别，前者是一条状态走过的线，对于两状态的系统，其实就是相图；而后者只是单纯的一个点。

例子：带摩擦的单摆系统

图中小球的质量为$m$，摆线长$l$，与垂直方向的夹角为$\theta$，摩擦系数为$k$，摩擦力为$-kl\dot{\theta }$。
对于这样一个单摆系统，它的运动学方程为
$$ml\ddot{\theta }=-mg\sin \theta -kl\dot{\theta }\text{\hspace{1em}(1)}$$
令$x_1=\theta$，$x_2=\dot{\theta }$，(1)式可以写成
$$\begin{gathered} \dot{x_1}=x_2 \\ \text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
$$\dot{x_2}=-\frac{g}{l}\sin x_1-\frac{k}{m}{x}_2\text{\hspace{1em}(3)}$$
我们用这个系统的总能量来表示Lyapunov函数，总能量=动能+势能，即
$$V(x)=\frac{1}{2}m{l}^2{x}_2^2+mgl(1-\cos x_1)\text{\hspace{1em}(4)}$$
求导，化简，得
$$\dot{V}(x)=-k{l}^2{x}_2^2\text{\hspace{1em}(5)}$$
显然，$V(0)=0$，而$\dot{V}(x)$是半负定的，由Lyapunov直接法不能得到$x=0$是渐进稳定的。
但是，此时
$$A=\{(x_1,x_2)|\dot{V}(x_1,x_2)=0\}=\{(x_1,x_2)|x_2(t)=0\}$$
即，要让一条轨迹包含于$A$，那这条轨迹的$x_2(t)$必须一直为零，则$\dot{x_2}=0$，同时这条轨迹也满足(3)式，那么$x_1(t)=0$也必须一直成立，所以除了$x=0$，A中不包含其他任何轨迹，所以$x=0$是渐近稳定点。