位置式与增量式PID控制器的说明

理想状态下的PID控制器表达式为：

对上式左右进行拉普拉斯变换，可以得到：

为了在控制器或者计算机系统中实现PID计算，必须将上式的连续系统表达式离散化为离散系统。一般进行连续系统离散化，常用的有后向差分离散化方式和双向差分离散化方式：

1. 后向差分
   曲线的斜率表示为：
   
   这种离散化表示成z变换形式就是：
   其中，Ts为系统采样时间。
2. 双向差分
   这种离散化表示成z变换形式就是：
   其中，Ts为系统采样时间。
   这里采取后向差分计算，将后向差分Z变换表达式带入连续系统拉普拉斯变换表达式，得到：
   
   展开得到：
   
   上式即为增量式PID的差分表达式，其中Kp为比例系数、Ti为积分时间、Td为微分时间、Ts为系统采样时间。该式计算出的结果为控制量的增量，与上一时刻的控制量进行叠加，即为实际输出控制量。
   增量式算法优点：①算式中不需要累加。控制增量Δu(k)的确定仅与最近3次的采样值有关，容易通过加权处理获得比较好的控制效果；②计算机每次只输出控制增量，即对应执行机构位置的变化量，故机器发生故障时影响范围小、不会严重影响生产过程；③手动—自动切换时冲击小。当控制从手动向自动切换时，可以作到无扰动切换。
   从上式也可以看出，将n个时刻的表达式叠加起来，就是位置式PID的计算结果，通过叠加发现，位置式的表达结果为：
   
   位置式PID在实际中也较为常用，但是对于存在手动且自动的过程，需要认为进行特别处理。