POJ 3308 最小点权覆盖

题意

传送门 POJ 3308

题解

取对数将乘法转化为加法

$\prod r_i{c}_i=\sum log(r_i)+\sum log(ci)$

将镭射当做顶点，把敌人看做连接光束对应的边，则问题转化为最小点权覆盖问题，最终可以转化为最小割问题。建图思路为，从源点 $s$ 向所有横向镭射代表的顶点连权值为 $r_i$ 的边，从汇点 $t$ 向所有纵向镭射代表的顶点连权值为 $c_i$ 的边，敌人代表的边容量为 $inf$。

简单证明，若点覆盖不为割，则存在 $s$ 向 $t$ 的通路，则存在一条未覆盖的边。为避免割集取不直接连接源点、汇点的边，这些边取 $inf$。

考虑到精度问题，$inf$ 不可过大，且 $double$ 型可表示的数值范围以自然对数表示不需要过大的 $inf$。

对于最大点权独立集，可以参照最小点覆盖与最大独立集的关系，用点权和 - 最小点权覆盖求解。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define min(a,b)    (((a) < (b)) ? (a) : (b))
#define max(a,b)    (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define abs(x)    ((x) < 0 ? -(x) : (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define delta 0.85
using namespace std;

#define MAX_V 105
typedef double capType;
struct edge{
	int to, rev;
	capType cap;
	edge(int to, capType cap, int rev) : to(to), cap(cap), rev(rev){}
};
int V;
vector<edge> G[MAX_V];
int level[MAX_V], iter[MAX_V];

void add_edge(int from, int to, capType cap){
	G[from].push_back(edge(to, cap, G[to].size()));
	G[to].push_back(edge(from, 0, G[from].size() - 1));
}

void bfs(int s){
	memset(level, -1, sizeof(level));
	queue<int> que;
	level[s] = 0;
	que.push(s);
	while(!que.empty()){
		int v = que.front(); que.pop();
		for(int i = 0; i < G[v].size(); i++){
			edge &e = G[v][i];
			if(e.cap > 0 && level[e.to] < 0){
				level[e.to] = level[v] + 1;
				que.push(e.to);
			}
		}
	}
}

capType dfs(int v, int t, capType f){
	if(v == t) return f;
	for(int &i = iter[v]; i < G[v].size(); i++){
		edge &e = G[v][i];
		if(e.cap > 0 && level[v] < level[e.to]){
			capType d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
			if(d > 0){
				e.cap -= d;
				G[e.to][e.rev].cap += d;
				return d;
			}
		}
	}
	return 0;
}

capType max_flow(int s, int t){
	capType flow = 0;
	for(;;){
		bfs(s);
		if(level[t] < 0) return flow;
		memset(iter, 0, sizeof(iter));
		capType f;
		while((f = dfs(s, t, INF)) > 0){
			flow += f;
		}
	}
}

void clear_graph(){
	for(int v = 0; v < V; v++) G[v].clear();
}

#define MAX_N 50
#define MAX_L 500
int inf = 1e6;
int N, M, L;
double R[MAX_N], C[MAX_N];
int X[MAX_L], Y[MAX_L];

void solve(){
	int s = N + M, t = s + 1;
	V = t + 1;
	clear_graph();
	// 建图
	for(int i = 0; i < M; i++) add_edge(s, i, log(R[i]));
	for(int i = 0; i < N; i++) add_edge(M + i, t, log(C[i]));
	for(int i = 0; i < L; i++) add_edge(X[i] - 1, M + Y[i] - 1, inf);
	printf("%.4lf\n", exp(max_flow(s, t)));
}

int main(){
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
		scanf("%d%d%d", &M, &N, &L);
		for(int i = 0; i < M; i++) scanf("%lf", R + i);
		for(int i = 0; i < N; i++) scanf("%lf", C + i);
		for(int i = 0; i < L; i++) scanf("%d%d", X + i, Y + i);
		solve();
	}
	return 0;
}