优化问题杂谈

优化问题是科研、生产中经常面临的问题。在给定的条件下达到最好，是一个具有普适意义的问题。很多问题都可以等价成为在解空间寻找目标函数的最优值问题，但不是所有的最优问题都能够简单地找到一种数学表示方式。

1 分类

1.1 按照有无约束分类
无约束优化：只要找到使得目标函数最优的解就好，对解没有额外的要求。
有约束优化：解需要先满足一些条件，在所有满足条件的解里面，找到使得目标函数最优的解。

1.2 按照函数类型进行分类
凸优化：满足条件（1）目标函数和约束等式或者不等式都必须是凸函数；（2）定义域是一个凸集；
非凸优化：非凸优化比较困难，一般的优化算法基本上无能为力。

凸集是指：集内任意两点之间的所有点都仍然在该集合内；
凸函数：不严谨地说，可以认为在凸集上只有一个极点的函数；因为有很多极值点的函数不是凸优化考虑的问题。

2 方法

解析法：通过求解目标函数的导数，显示地直接求出最优解。
迭代法：随机选取一个可行解，然后按照某个方向去更新解，直到满足对应的停止条件。
随机法：不断地随机乱猜，如果新猜到的解比就解更优就把新猜到的解保存起来，直到满足某种停止条件。

这三大类方法对有约束无约束优化都可以使用，许多著名的优化算法都可以按照这三类进行分类。例如，令导函数等于0求解就是解析法；牛顿下山法、欧拉方法就是迭代法；模拟退火、遗传算法就是随机法。