机器人学笔记之——操作臂运动学：操作臂运动学

0. 操作臂运动学

在这部分中，我们将完成推导出相邻连杆之间坐标系变换的一般形式，然后将各个相邻连杆之间的变换联系起来，由此得出连杆n相对于连杆0的位置和姿态

0.0 连杆变换的推导

所谓连杆变换，就是我们要求出坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的变换。这样我们就可以将坐标系{i-1}变换到坐标系{i}。一般来说，这个变换是由四个连杆参数构成的函数。对于一个给定的确定的机器人机构，该变换是只有一变量参数的，其余三个参数早已由机械结构确定了。
在我们求连杆变换时，我们需要对连杆建立一系列坐标系，方便我们将运动学问题分解为各个连杆之间变换的子问题。而我们为了进一步细化这些子问题，我们又会将这些子问题分解为四个更小的子问题。

如上图所示，我们将整个变换过程分解为四个小过程，分别建立了三个中间坐标系 {P}、{Q}、{R}。图中只标出了坐标系的X轴和Z轴。
我们来看看这张示意图：
坐标系{R}是由坐标系{i-1}绕X轴旋转αi-1度得到的，坐标系{Q}是由坐标系{Q}沿着公垂线平移ai-1得到的，坐标系{P}是由坐标系{Q}绕Z轴旋转θi度得到的，最后的坐标系{i}是由坐标系{P}沿着关节轴i平移di得到的。
用文字来描述整个过程，就会像上面这段话一样麻烦。
那么我们用数学的形式来表达：

这里的Screw q(r，Φ)代表着沿Q轴平移r，再绕Q轴旋转Φ度的组合变换。
由矩阵的乘法可以计算出：

0.1 连续的连杆变换

如果已经定义了机器人的各个连杆坐标系和连杆参数，我们就可以直接建立运动学方程。只要套上面那条公式就可以得到各个连杆的变换矩阵，再将这些矩阵连乘起来就能得到一个坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵。那么我们的目的也就达到了。