浮点数的表示范围

一个浮点数（Floating Point Number）由三个基本成分构成：符号（Sign）、阶码（Exponent）和尾数（Mantissa）。
　　通常，可以用下面的格式来表示浮点数：

S

P

M

　　其中S是符号位，P是阶码，M是尾数。
　　根据IEEE（美国电气和电子工程师学会）754标准中的定义，单精度（Single Precision）浮点数是32位（即4字节）的，双精度（Double Precision）浮点数是64位（即8字节）的。两者的S、P、M所占的位数以及表示方法由下表可知：

	S	P	M	表示公式	偏移量
单精度浮点数	1（第31位）	8（30到23位）	23（22到0位）	(-1)^S*2(P-127)*1.M	127
双精度浮点数	1（第63位）	11（62到52位）	52（51到0位）	(-1)^S*2(P-1023)*1.M	1023

　　其中S是符号位，只有0和1，分别表示正负。
　　P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码、反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1）。阶码可以为正数，也可以为负数，为了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精度数的偏差值为127，双精度数的偏差值为1023。例如，单精度的实际指数值0在指数域中将保存为127，而保存在指数域中的64则表示实际的指数值-63，偏差的引入使得对于单精度数，实际可以表达的指数值的范围就变成-127到128之间（包含两端）。
　　M为尾数，其中单精度数为23位长，双精度数为52位长。IEEE标准要求浮点数必须是规范的。这意味着尾数的小数点左侧必须为1，因此在保存尾数的时候，可以省略小数点前面这个1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。这样实际上用23位长的尾数域表达了24位的尾数。例如对于单精度数而言，二进制的1001.101（对应于十进制的9.625）可以表达为1.001101 × 23，所以实际保存在尾数域中的值为00110100000000000000000，即去掉小数点左侧的1，并用0在右侧补齐。
　　根据标准要求，无法精确保存的值必须向最接近的可保存的值进行舍入，即不足一半则舍，一半以上（包括一半）则进。不过对于二进制浮点数而言，还多一条规矩，就是当需要舍入的值刚好是一半时，不是简单地进，而是在前后两个等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效数字为零者。
　　据以上分析，IEEE 754标准中定义浮点数的表示范围为：

	二进制（Binary）	十进制（Decimal）
单精度浮点数	± (2-2^-23) × 2127	~ ± 10^38.53
双精度浮点数	± (2-2^-52) × 21023	~ ± 10^308.25

　　浮点数的表示有一定的范围，超出范围时会产生溢出（Flow），一般称大于绝对值最大的数据为上溢（Overflow），小于绝对值最小的数据为下溢（Underflow）。
二、浮点数的表示约定
　　单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE 754标准定义的，其中有一些特殊约定，例如：
　　1、当P=0，M=0时，表示0。
　　2、当P=255，M=0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
　　3、当P=255，M≠0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。
三、非规范浮点数
　　当两个绝对值极小的浮点数相减后，其差值的指数可能超出允许范围，最终只能近似为0。为了解决此类问题，IEEE标准中引入了非规范（Denormalized）浮点数，规定当浮点数的指数为允许的最小指数值时，尾数不必是规范化（Normalized）的。有了非规范浮点数，去掉了隐含的尾数位的制约，可以保存绝对值更小的浮点数。而且，由于不再受到隐含尾数域的制约，上述关于极小差值的问题也不存在了，因为所有可以保存的浮点数之间的差值同样可以保存。
　　根据IEEE 754标准中的定义，规范和非规范浮点数的表示范围可归纳为下表：

	规范浮点数	非规范浮点数	十进制近似范围
单精度浮点数	± 2^-149 至 (1-2^-23)*2^-126	± 2^-126 至 (2-2^-23)*2^127	± ~10^-44.85 至 ~10^38.53
双精度浮点数	± 2^-1074 至 (1-2^-52)*2^-1022	± 2^-1022 至 (2-2^-52)*2^1023	± ~10^-323.3 至 ~10^308.3

四、与IEEE 754相关的标准
　　本文的结论基于IEEE 754标准，另外一个标准是IEEE 854，这个标准是关于十进制浮点数的，但没有规定具体格式，所以很少被采用。另外，从2000年开始，IEEE 754开始修订，被称为IEEE 754R，目的是融合IEEE 754和IEEE 854标准。该标准在浮点格式方面的修订有：1、加入了16位和128位的二进制浮点数格式；2、加入了十进制浮点数格式，采用了IBM公司提出的格式。