acwing算法提高课程笔记---数字三角形模型，最长上升子序列模型

写在前面：本博客为课程笔记，课程为https://www.acwing.com的算法提高课。

数字三角形模型

     1015摘花生

/*Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

1.gif

输入格式
第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式
对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围
1≤T≤100,
1≤R,C≤100,
0≤M≤1000
输入样例：
2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5
输出样例：
8
16*/

#include
#include
using namespace std;

const int N = 110;
int m,n;
int w[N][N];
int f[N][N];

int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i = 1;i<=n;++i){
            for(int j = 1;j<=m;++j){
                scanf("%d",&w[i][j]);
            }
        }
        for(int i = 1;i<=n;++i){
            for(int j = 1;j<=m;++j){
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1])+w[i][j];
            }
        }
        printf("%d\n",f[n][m]);
    }
    return 0;
}

     1018.最低通行费

捡花生要处理第一行第一列。

/*一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。

商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式
第一行是一个整数，表示正方形的宽度N。

后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式
输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围
1≤N≤100
输入样例：
5
1  4  6  8  10 
2  5  7  15 17 
6  8  9  18 20 
10 11 12 19 21 
20 23 25 29 33
输出样例：
109
样例解释
样例中，最小值为109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。*/




#include
#include
using namespace std;

const int N = 110,INF = 1e9;
int w[N][N];
int f[N][N];
int n;

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			scanf("%d", &w[i][j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			if (i == 1 && j == 1) f[i][j] = w[i][j];
			else {
				f[i][j] = INF;
				if (i > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j] + w[i][j]);
				if (j > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1] + w[i][j]);
			}
		}
	}
	printf("%d\n", f[n][n]);
	return 0;
}

3.1027方格取数

/*设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

2.gif

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式
第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式
输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围
N≤10
输入样例：
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例：
67
*/


#include
#include
using namespace std;

const int N = 15;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];
int n;

int main() {
	scanf("%d", &n);
	int a, b, c;
	while (cin >> a >> b >> c, a || b || c) w[a][b] = c;    //矩阵初始化
	for (int k = 2; k <= n + n; ++k) 
		for (int i1 = 1; i1 <= n; ++i1) 
			for (int i2 = 1; i2 <= n; ++i2) {
				int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
				if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n) {
					int t = w[i1][j1];
					if (i1 != i2) t += w[i2][j2];
					int& x = f[k][i1][i2];
					x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);      //有四种情况，见图
					x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
					x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
					x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
				}
			}
	printf("%d\n", f[n * 2][n][n]);
	return 0;
}

最长上升子序列模型Longest Increasing Subsequence

         895.最长上升子序列

/*给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数N。

第二行包含N个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤1000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例：
4*/

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int f[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1;i<=n;++i){
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;j

        1017.怪盗基德的滑翔翼,双向lis问题,初始在最高点可以但只能像一个方向飞。

/*怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。

而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。

不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

输入格式
输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

数据范围
1≤K≤100,
1≤N≤100,
0
#include
using namespace std;

const int N = 110;
int t;

int a[N],f[N];

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;
        int res =0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
        //正向
        for(int i = 1;i<=n;++i){
            f[i] = 1;
            for(int j = 1;ja[j]) f[i] = max(f[i],f[j]+1);
                res = max(res,f[i]);
            }
        }
        //反向
        for(int i =n;i>=1;--i){
            f[i] = 1;
            for(int j = n;j>i;--j){
                if(a[i]>a[j]) f[i] = max(f[i],f[j]+1);
                res = max(res,f[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}

         1014登山，先上去（要浏览的最高点？）再下来。

/*五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一个有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？

输入格式
第一行包含整数N，表示景点数量。

第二行包含N个整数，表示每个景点的海拔。

输出格式
输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。

数据范围
2≤N≤1000
输入样例：
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例：
4*/

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N],f[N],g[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1;i<=n;++i){
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;ja[j]) f[i] = max(f[i],f[j]+1);
        }
    }
    for(int i = n;i>=1;--i){
        g[i] = 1;
        for(int j = n;j>i;--j){
            if(a[i]>a[j]) g[i] = max(g[i],g[j]+1);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1;i<=n;++i){
        res = max(res,f[i]+g[i]-1);
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

482.合唱队形,同上题代码几乎一样

/*N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。     

合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，  则他们的身高满足T1<…Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。     

你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式
输入的第一行是一个整数N，表示同学的总数。

第二行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti是第i位同学的身高(厘米)。

输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。

数据范围
2≤N≤100,
130≤Ti≤230
输入样例：
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例：
4*/


#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N],f[N],g[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i =1;i<=n;++i){
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;ja[j]) f[i] = max(f[i],f[j]+1);
        }
    }
    for(int i = n;i>=1;--i){
        g[i] = 1;
        for(int j = n;j>i;--j){
            if(a[i]>a[j]) g[i] = max(g[i],g[j]+1);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i =1;i<=n;++i){
        res = max(res,f[i]+g[i]-1);
    }
    printf("%d\n",n-res);
    return 0;
}

1012.友好城市,先排序一边，再找另一边的最长上升子序列

/*Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。

北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。

每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。

编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。

输入格式
第1行，一个整数N，表示城市数。

第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。

输出格式
仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。

数据范围
1≤N≤5000,
0≤xi≤10000
输入样例：
7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2
输出样例：
4*/


#include
#include
using namespace std;

typedef pair PII;
const int N = 5010;
int n;
PII a[N];
int f[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;ia[j].second) {
                f[i] = max(f[i],f[j]+1);
            }
            res = max(res,f[i]);
        }
    }
    // int res = 0;
    // for(int i = 0;i

1016.最大上升子序列和

/*一个数的序列 bi，当 b1
#include
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int a[N],f[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;ia[j]) f[i] = max(f[i],f[j]+a[i]);
        }
        res = max(res,f[i]);
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

1010.拦截导弹,较为难想，要记忆需要部署的系统套数（第二个返回值）。lis和贪心相结合

/*某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。

由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。

第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

输入样例：
389 207 155 300 299 170 158 65
输出样例：
6
2*/



//使用stringstream：
#include
#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int h[N], f[N],q[N];

int main() {
	string line;
	getline(cin, line);
	stringstream ssin(line);
	while (ssin >> h[n]) n++;
	int res = 0, cnt = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		f[i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; ++j) {
			if (h[i] <= h[j])
				f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
		}
		res = max(res, f[i]);
		int k = 0;
		while (k < cnt && q[k] < h[i]) k++;
		if (k == cnt) q[cnt++] = h[i];
		else q[k] = h[i];
	}
	printf("%d\n", res);
	printf("%d\n", cnt);
	return 0;
}


//常规解法：
#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int q[N];
int f[N], g[N];

int main() {
	while (cin >> q[n]) n++;
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		f[i] = 1;
		for (int j = 0; j < i; ++j) {
			if (q[i] <= q[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
			res = max(res, f[i]);
		}
	}
	printf("%d\n", res);
	int cnt = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		int k = 0;
		while (k < cnt && g[k] < q[i]) k++;     //k表示上升子序列编号
		g[k] = q[i];
		if (k >= cnt) cnt++;       //说明所有的子序列结尾都小于当前值，因此cnt++
	}
	printf("%d\n", cnt);
	return 0;
}

187.导弹防御系统，1010的基础上加dfs（求最小步数），记一个全局最小值，迭代加深。这题多看

/*为了对抗附近恶意国家的威胁，R国更新了他们的导弹防御系统。

一套防御系统的导弹拦截高度要么一直 严格单调 上升要么一直 严格单调 下降。

例如，一套系统先后拦截了高度为3和高度为4的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于4的导弹。

给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。

输入格式
输入包含多组测试用例。

对于每个测试用例，第一行包含整数n，表示来袭导弹数量。

第二行包含n个不同的整数，表示每个导弹的高度。
    
当输入测试用例n=0时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式
对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。

数据范围
1≤n≤50
输入样例：
5
3 5 2 4 1
0 
输出样例：
2
样例解释
对于给出样例，最少需要两套防御系统。

一套击落高度为3,4的导弹，另一套击落高度为5,2,1的导弹。*/






#include
#include
using namespace std;

const int N = 55;
int n;
int q[N];
int up[N], down[N];
int ans;

void dfs(int u, int su, int sd) {
	if (su + sd >= ans) return;
	if (u == n) {
		ans = su + sd;
		return;
	}
	//情况一，将当前数放到上升子序列中
	int k = 0;
	while (k < su && up[k] >= q[u]) k++;
	int t = up[k];
	up[k] = q[u];
	if (k < su) dfs(u + 1, su, sd);
	else dfs(u + 1, su + 1, sd);
	up[k] = t;

	//情况二，将当前数放到下降子序列中
	k = 0;
	while (k < sd && down[k] <= q[u]) k++;
	t = down[k];
	down[k] = q[u];
	if (k < sd) dfs(u + 1, su, sd);
	else dfs(u + 1, su, sd + 1);
	down[k] = t;
}

int main() {
	while (cin>>n,n)
	{
		for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
		
		ans = n;
		dfs(0, 0, 0);

		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}

272.最长公共上升子序列

/*熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列A和B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列A和B的长度均不超过3000。

输入格式
第一行包含一个整数N，表示数列A，B的长度。

第二行包含N个整数，表示数列A。

第三行包含N个整数，表示数列B。

输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过231−1
输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2*/




#include
#include
#include
using namespace std;

const int N = 3010;
int q[N],b[N];
int f[N][N];
int n;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i<=n;++i) scanf("%d",&q[i]);
    for(int i = 1;i<=n;++i) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i = 1;i<=n;++i){
        int maxv = 1;
        for(int j = 1;j<=n;++j){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(q[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j],maxv);
            if(q[i]>b[j]) maxv = max(maxv,f[i-1][j]+1);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1;i<=n;++i) res = max(res,f[n][i]);
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}