编程之美----数组的最长递增子序列

DESCRIPTION：

数组的最长递增子序列(LIS)

Given a sequence of n real numbers a1, ..., an, determine a subsequence (not

necessarily contiguous) of maximum length in which thevalues in the sub-

sequence form a strictly increasing sequence.

 这是一个动态规划的问题，个人觉得DP最关键的是首先写出问题的子问题空间，

遵循的原则如下，（参考自算法导论）

      子问题空间越简单越好，必要的时候才进行扩充。

本人打算专门写一篇blog关于自己选择子问题空间的一些经验。

 

Definition: (定义非常关键，数学证明中，首先必须非常清楚定义，而且有的时候好的简单的对子问题空间的定义，有利于构造高效的算法)

array[1-length]    输入数组

LIS[1-length]     前i个元素中以array[i]为最大元素的最长递增子序列（LIS）的长度

                （还可以有第二种定义：前i个元素中的最长递增子序列的长度, 注意，这个定义，并不一定要求以array[i]为最大元素）

算法1：

  LIS若采用第一种定义：   前i个元素中以array[i]为最大元素的最长递增子序列（LIS）的长度

算法非常直接，递推关系式如下

   LIS[i+1]= max{LIS[i-k] + 1}, array[k] < array[i+1], for any k <=i

意思是：

  以array[i+1]为最大元素的LIS，的倒数第二个元素array[k]，可以选择那些array[i+1]前面的，并且值小于array[i+1]的元素。

很容易证明，满足最优子结构。

注意：最优值并不一定在 LIS[N]取得，因为现在 LIS[i]表示的是前i个元素中以array[i]为最大元素的LIS，所以 OPT = MAX（L[i]]）

复杂度：  N个子问题，每个子问题计算耗时O（N）， 最后找最大值O(N)

       So, complexity = O(N^2) + O(N) = O(N^2)

 

算法2：（错误的算法）

  LIS若采用第二种定义：前i个元素中的最长递增子序列的长度。

这种定义有一个好处，最优值就是LIS[N]。因为，LIS[i+1]至少应该比LIS[i]一样好。。

所以LIS[]这个数组一定是非递减的。。

在算法1递推关系式的基础上，加上LIS[i+1与L[i]取max即可]

但是，

LIS[i+1] =max{LIS[i],  max{LIS[i-k] + 1}, array[k] < array[i+1],for any k <=i}

 实现非常简单，代码实现多了这一句，If（LIS[i] > LIS[i+1]） LIS[i+1] =LIS[i];

在这个子问题空间的定义下，上述的递推关系式是错误的！！！！

首先，我给出一个反例:  

   E.g.  array:{5, 6, 2, 3}

最终的LIS[]将是  1 2 2 3, OPT =3,

而该问题的正确结果是2， {5，6}或者{2，3}

分析错误的原因：

   LIS数组在这种新的定义下，array[k] < array[i+1]并不能保证倒数第二个元素比array[i+1]小，因为此时的子问题LIS[k]并不一定以array[k]为最大元素，例如反例中，LIS[3]=2， 子序列是{5,6}并不以第三个元素也就是3为最大元素，所以出错。

算法3：

引入新的数组：

maxV[length+1]

  长度为1的递增子序列最大元素的最小值为maxV[1]

  长度为2的递增子序列最大元素的最小值为maxV[2]

  …

  长度为LIS[i]的递增子序列最大元素的最小值为maxV[LIS[i]]

首先，证明maxV[]是递增的，因此可以使用二分搜索

用数学归纳法即可证明，下面证明

若前k个元素是递增的，一定有maxV[k+1] >= maxV[k]

PROOF：假设不成立，则maxV[k+1] < maxV[k]

根据maxV[k+1]的定义，存在一个长度是k+1的LIS，并且以maxV[k+1]为最大元素。

将上述子序列去掉最后一个元素maxV[k+1], 得到

  长度为k，且最大元素 < maxV[k+1] < maxV[k]

这显然与maxV[k]的定义矛盾。。所以假设不成立

 

《编程之美》上给出了算法的代码。。

算法的思路基本是：

  每一步，将array[i]在当前的 maxV[]数组中进行二分搜索，找到位置k

maxV[k] < array[i] < maxV[k+1]

注意，array[i]加入后，仅仅影响maxV[k+1]  (maxV[k+1] = array[i]）

而对其他的元素不产生影响。

证明：

1.      maxV[k]已经它以前的元素不变..较为简单。

2.      maxV[k+2]之后的元素不变。。

假设maxV[k+2]需要改变，即加入array[i]后，存在一个长度为k+2的LIS,以array[i]为最大元素。

将上述LIS去掉array[i]得到一个长度为k+1, 且最大元素 < array[i] < maxV[k+1]

的LIS，

这显然与maxV[k+1]的定义矛盾。。得证

 复杂度 = O（nlgn）

代码如下：

int LIS_new(int *a, int n)
{
    if(n <= 0) return 0;
    vector maxV;
    maxV.push_back(a[0]);
    for(int i=0; i *maxV.rbegin())
            maxV.push_back(a[i]);
        else
            *lower_bound(maxV.begin(), maxV.end(), a[i]) = a[i];
    }
    return maxV.size();
}