分治法解决汉诺塔问题及时间复杂度分析

2 递归与分治策略

2.1 算法介绍

分治法(Divide and conquer)：将一个规模较大问题分解为规模较小的子问题，先求解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解的算法思路。

递归(Recursion)：直接或间接地调用自身的算法。

• 优点：
  • 是一种自然的思考方式
  • 思路清晰
  • 易于实现
• 缺点：
  • 具体执行步骤难以理解
  • 坏的递归大幅提高算法复杂度

分治与递归的联系：分治法的子问题通常与原问题结构和求解方法相同，可以通过递归的方法求解。

2.2 汉诺塔(Hanoi tower)

2.2.1 问题描述

有3根柱子及n个不同大小的圆盘，最初，所有盘子由上到下、从小到大地套在第一根柱子上。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。
请问：将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子，如何移动才能移动次数最少？需要移动多少次？

2.2.2 问题解决

令三个柱子分别为A、B、C，最初所有的盘子都在A上，从宏观上看，要想把A的盘子全部移动到C，则可以：

• ① 将n-1个盘子从A移到B
• ② 将最下面的1个盘子从A移到C
• ③ 将n-1个盘子从B移动到C

你可能会问，问题要求(1)中明明限制了一次只能移动一个盘子！
这个时候就要用到分治和递归的思想，上述三个步骤中，仅有步骤②是直接执行，其中步骤①和步骤③都要通过递归实现。
我们先说步骤①，如何把n-1个盘子从A移到B？这可以看成一个新的子问题，而这个子问题跟原问题是一样的，所以我们可以利用递归，再次重复上述的三个步骤就行了，但是，要如何设置参数呢？首先，这个子问题中只有n-1个盘子，所以我们只需要把n改为n-1，其次，要想把n-1个盘子从A移到B，就得先把n-2个盘子从A移到C，依次类推往下…
请你注意：在不断递归的过程中，A、B、C的“移动角色"在不断改变，原问题是把n个盘子从A移到C，子问题为把n-1个盘子从A移到B，子子问题是把n-2个盘子从A移到C…
步骤③的原理同步骤②。

建议这段讲解，配合代码一起阅读，将有助于理解。

2.2.3 时间复杂度

时间复杂度：O(2ⁿ)
分析：

我们首先以5个圆盘为例，来分析时间复杂度。
这张图的含义：灰色部分为直接执行的步骤②，黄色部分为递归执行的步骤①和③。圆圈内的数字代表圆盘的个数，圆圈旁的数字代表所需执行的步骤数，左侧的式子代表对应一层的执行步骤数。
这张图的分析：我们从左侧的式子中可以看出，n=5时，就把每一层的执行步骤数加起来，就是总的执行步骤数，为3+7x2⁰+7x2¹+7x2²+6x2²
推广至n时，则为3+(2⁰+2¹+…+2^n-3)+6x2²=2.5x2ⁿ-4,故O(2ⁿ)

2.2.3 代码实现

public class HanoiSimple{
	public static void move(Tower A,Tower B,Tower C){
		move(A.size(),A,B,C);
	}
	public static void move(int n,Tower A,Tower B,Tower C){
		if(n==1){
			C.add(A.remove());
		}
		else{
		    /*关键代码：实现递归与分治*/
			move(n-1,A,C,B);//将n-1个盘子从A移到B(继续递归)
			move(1,A,B,C);//将最下面的那个盘子从A移到C(真正执行)
			move(n-1,B,A,C);//将n-1个盘子从B移动到C(继续递归)
		}
	}
}

Tip：这里的代码单独跑是跑不开的，仅供学习参考，还需要测试代码及Tower类的定义。