一维前缀和 + 二维前缀和 + 差分の详解（简单易懂）

【引入】

首先给出一个问题：
给定n个数，再给出m个询问，每个询问给出区间Li,Ri和x，要求你在Li到Ri上每一个值都加上x，最后给出一个询问区间L,R的区间和，怎么办？
思考一下:如果暴力，最坏时间复杂度O(n^2)；线段树或者树状数组，时间复杂度O(logn)；而使用差分可以O(n)。

 要使用差分，首先我们来谈谈前缀和。

【前缀和】

什么是前缀和？前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。 

设b[]为前缀和数组，a[]为原数组，根据这句话可以得到前缀和的定义式和递推式：

	定义式	递推式
一维前缀和
二维前缀和

一维前缀和理解起来比较容易，二维前缀和后边细说，我们先来说说差分。

 【差分】

什么是差分？差分是一个数组相邻两元素的差，一般为下标靠后的减去靠前的一个。设差分数组p[]，即：

【联系】

前缀和和差分有什么关系呢？

令F(a)表示前缀和数组，G(a)表示差分数组，则      

可以说 前缀和 和 差分 是一对互逆过程。

【一维前缀和】

根据上述表达式我们可以以O(1)求出区间[i,j]的区间和     

【二维前缀和】

二维前缀和的计算运用了容斥定理，我们来看下图：

显然左上角重合的那一块加了两次，所以我们需要减掉重合的部分。请结合上图理解下列递推式 (*^▽^*) 。

【应用】

 回到引入中的问题，对于每一个L,R,x，我们只需要在b[L]+x，在b[R]-x，最后做前缀和，O(1)查询即可。

代码如下：

#include 
int a[1005];
int b[1005];
int main()
{
	int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
	while(m--){
        int L,R,x;
        scanf("%d%d%d",&L,&R,&x);
        b[L]+=x;
        b[R+1]-=x;
	}
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=b[i];
        a[i]+=a[i-1]+sum;
	}
	int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
	printf("%d\n",a[r]-a[l-1]);
	return 0;
}

还是引入中的问题，升级为：

给定一个n*m大小的矩阵a，再给出m个询问，每次询问给定x1,y1,x2,y2和x，表示以(x1,y1)为左上角坐标和(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有元素都加上x，最后给出一个询问：以(x1,y1)为左上角坐标和(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有元素和，怎么办？

对于每一个x1,y1,x2,y2，我们只需要对数组b

b[x1][y1]+=p;  b[x2+1][y2+1]+=p;

b[x2+1][y1]-=p;  b[x1][y2+1]-=p;

然后做二维前缀和即可。 

例题：Monitor（二维前缀和+差分）