loj125 杜教筛

题目

由题目猜算法系列。

已知f(n)=∑d|ng(d)与g(n)=2n2+3n+5,求∑ni=1f(i)
令 F(i)=∑ni=1f(i)
则发现（前面的系数需要凑一凑）
∑ni=1μ(i)F([ni])=∑ni=1μ(i)∑[ni]j=1f(j)
∑ni=1μ(i)∑[ni]j=1f(j)=∑ni=1∑i|jμ(i)f(ji)
∑ni=1∑i|jμ(i)f(ji)=∑ni=1g(i)

然后就可以用杜教筛了。 g(i) 的前缀和可以用公式算的。

然后就可以解决了。

注意一点的是， F(i) 的前面一定要 nlogn 预处理出来，不然巨慢。。

#include
#define M 1000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353,inv2=499122177,inv3=332748118;
int prime[M+5],notp[M+5],cnt,g[M+5],f[M+5];
ll mu[M+5];
ll n;
map <int,ll> mp,mpmu;
inline char nc()
{
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline ll s(int x)
{
    return ((x*(x+1ll)%mod*(2ll*x+1ll)%mod*inv3%mod+3ll*(x+1ll)%mod*x%mod*inv2%mod)%mod+(ll)5ll*x%mod)%mod;
}
inline int read()
{
    int x=0,b=1;
    char c=nc();
    for(;!(c<='9'&&c>='0');c=nc())if(c=='-')b=-1;
    for(;c<='9'&&c>='0';c=nc())x=x*10+c-'0';
    return x*b;
}
inline void init()
{
    notp[1]=true,mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        if(!notp[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=M;j++)
        {
            notp[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=M;i++)mu[i]+=mu[i-1];
    for(int i=1;i<=M;i++)g[i]=((ll)2ll*i%mod*i%mod+3ll*i%mod+5ll)%mod;
    for(int i=1;i<=M;i++)
        for(int j=i;j<=M;j+=i)
            f[j]=(f[j]+g[i])%mod;
    for(int i=1;i<=M;i++)f[i]=(f[i]+f[i-1])%mod;
}
inline ll Mu(int x)
{
    if(x==1)return 1ll;
    if(x<=M)return mu[x];
    if(mpmu.count(x))return mpmu[x];
    ll tmp=1;
    int lst;
    for(int i=2;i<=x;i=lst+1)
    {
        lst=x/(x/i);
        tmp=(tmp-Mu(x/i)*(ll)(lst-i+1)%mod+mod)%mod;
        if(lst==x)break;
    }
    mpmu[x]=tmp;
    return tmp;
}
inline ll get(int x)
{
    if(x==1)return 10;
    if(x<=M)return f[x];
    if(mp.count(x))return mp[x];
    ll tmp=s(x);
    int lst;
    for(int i=2;i<=x;i=lst+1)
    {
        lst=x/(x/i);
        tmp=(tmp-get(x/i)*(ll)(Mu(lst)-Mu(i-1))%mod+mod)%mod;
        if(lst==x)break;
    }
    mp[x]=tmp;
    return tmp;
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    init();
    cin>>n;
    cout<return 0;
}