关于《训练指南》中的“翻棋子游戏”

刘汝佳的《训练指南》组合游戏部分中写了“翻棋子游戏”这样一个问题：一个棋盘上每个格子有一个棋子，每次操作可以随便选一个朝上的棋子(x,y)，代表第i行第j列的棋子，选择一个形如(x,b)或(a,y)(其中b < y，a < x)的棋子，然后把它和(x,y)一起翻转，无法操作的人输。

对于该问题，书上的分析如下：把坐标为(x,y)的棋子看成大小分别为x和y的两堆石子，则本题转化为了经典的Nim游戏，如果难以把棋子看作石子，可以先把Nim游戏中的一堆石子看成一个正整数，则Nim游戏中的每次操作是把其中一个正整数减小或者删除。

对于如何将棋子看成石子堆，最开始也是十分疑惑，后来想通了，现将完整思路整理如下：

首先对于当前所有n个正面朝上的棋子，看做数量分别为其横纵坐标大小的两堆石子，总共即为2n堆石子。现选择棋子(x,y)，同时也选择了(a,y)，其中a

1. 如果(a,y)也是正面朝上，那么相当于删去了大小为x,y,a,y的四堆石子。设原所有石子堆的Nim和为K，则现在的Nim和变为K^x^y^a^y=K^x^a 这可以看成是一个Nim和为K的石子堆中去掉了一个大小为x的堆，而后又增添了一个大小为a的堆，也就相当于某个大小为x的堆去掉了x-a个石子。
2. 如果(a,y)是反面朝上，那么相当于添加了a,y大小的石子堆，删去了x,y大小的石子堆，Nim和同样变为K^x^y^a^x，与1.中本质上是一样的。
   综上所述，对棋子的每一次操作都相当于是在初始的2n堆石子堆中进行了一次类似Nim游戏的操作，因此可以将翻棋子游戏看作是有这样2n堆石子的Nim游戏。

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