[DP/树形DP/单调队列优化]Exercise Week13 A~E
目录
- A.[思考题]神秘任务1
- 题意
- 样例
- 样例输入：
- 样例输出:
- 思路
- 总结
- 代码
- B.[思考题]神秘任务2
- 题意
- 样例
- 样例输入：
- 样例输出：
- 思路
- 总结
- 代码
- C.[DP]接猫
- 题意
- 样例
- 样例输入：
- 样例输出:
- 思路
- 总结
- 代码
- D.[树型DP]苹果树
- 题意
- 样例
- 样例输入：
- 样例输出：
- 思路
- 总结
- 代码
- E.[单调队列优化DP]神秘任务3
- 题意
- 样例
- 样例输入：
- 样例输出:
- 思路
- 总结
- 代码
A.[思考题]神秘任务1
题意
神秘人给了两个数字，分别表示 n 和 k，并要求 TT 给出 k 个奇偶性相同的正整数，使得其和等于 n。
例如 n = 10，k = 3，答案可以为 [4 2 4]。
样例
样例输入：
第一行一个整数 T，表示数据组数，不超过 1000。
之后 T 行，每一行给出两个正整数，分别表示 n（1 ≤ n ≤ 1e9）、k（1 ≤ k ≤ 100）。
8
10 3
100 4
8 7
97 2
8 8
3 10
5 3
1000000000 9
样例输出:
如果存在这样 k 个数字，则第一行输出 “YES”，第二行输出 k 个数字。
如果不存在，则输出 “NO”。
YES
4 2 4
YES
55 5 5 35
NO
NO
YES
1 1 1 1 1 1 1 1
NO
YES
3 1 1
YES
111111110 111111110 111111110 111111110 111111110 111111110 111111110 111111110 111111120
思路
1.刚看到题时,试图先计算n%k n/k 试图找找规律 举了几个例子之后 发现了一些规律:
令a=n%k b=n/k
我们先把n 分成k个 n/k
①当b为奇数时
(1)a为奇数时
若k为奇数 例:10÷3=3···1 先列出 3 3 3 还剩余一个1 我们只需令第一个3减一 第二个3加一 再把剩的1加到最后的3上即可
若k为偶数 例: 7÷2=3···1 先列出3 3 剩余一个1 此时无论怎么操作 都不可以
(2)a为偶数时
例: 8÷3=2···2 或14÷4=3···2 都可以吧这个余数a加到任意一个n/k上就好
②当b为偶数时
(1)a为奇数时
同①
(2)a为偶数时
同①
故我们只需要分别判断一下b a k的奇偶性就好啦
(对于b奇a奇k奇和b偶a奇k奇的情况 我们需要把前k/2个元素减一 往后k/2个元素+1 再让最后一个元素+a即可 同时由于必须为正整数 所以当出现0时也不可
总结
因为可以看出对于每一种情况 无论n k的数据是多大 他们的规律都是固定的 因此举了一些小数据的例子来找出规律
代码
#includeB.[思考题]神秘任务2
题意
任务依旧只给了两个数字，分别表示 n 和 k，不过这一次是要求 TT 给出无法被 n 整除的第 k 大的正整数。
例如 n = 3，k = 7，则前 7 个无法被 n 整除的正整数为 [1 2 4 5 7 8 10]，答案为 10。
样例
样例输入：
第一行一个整数 T，表示数据组数，不超过 1000。
之后 T 行，每一行给出两个正整数，分别表示 n（2 ≤ n ≤ 1e9）、k（1 ≤ k ≤ 1e9）。
6
3 7
4 12
2 1000000000
7 97
1000000000 1000000000
2 1
样例输出：
对于每一组数据，输出无法被 n 整除的第 k 大的正整数。
10
15
1999999999
113
1000000001
1
思路
我们可以将所有数 看成每n-1个数为一组 然后判断k是在第几组中
a=k%(n-1),b=k/(n-1);
算出组数后 我们只需将组数*n 再加余数 即可得到第K大正整数
Tips:若余数是0 代表在上一组的最后 故我们要将ans-1
总结
这个题与T1相较好思考一点
代码
#includeC.[DP]接猫
题意
捡猫咪游戏是这样的，猫咪从天上往下掉，且只会掉在 [0, 10] 范围内，具体的坐标范围如下图所示。
TT 初始站在位置五上，且每秒只能在移动不超过一米的范围内接住掉落的猫咪，如果没有接住，猫咪就会跑掉。例如，在刚开始的一秒内，TT 只能接到四、五、六这三个位置其中一个位置的猫咪。
喜爱猫咪的 TT 想要接住尽可能多的猫咪，你能帮帮他吗？
样例
样例输入：
多组样例。每组样例输入一个 m (0 < m < 100000)，表示有 m 只猫咪。
在接下来的 m 行中，每行有两个整数 a b (0 < b < 100000)，表示在第 b 秒的时候有一只猫咪掉落在 a 点上。
注意，同一个点上同一秒可能掉落多只猫咪。m = 0 时输入结束。
6
5 1
4 1
6 1
7 2
7 2
8 3
0
样例输出:
输出一个整数 x，表示 TT 可能接住的最多的猫咪数。
4
思路
1.读完题后 直觉上认为是一道DP 可以用dp[t][x]记录第t秒 在x位置上可以接到猫猫的最大值
10^5*11的复杂度很可以接受 于是考虑dp的转移方程
2.转移方程:
dp[i][j]可以从 dp[i-1][j] dp[i-1][j-1] dp[i-1][j+1]三个位置转移过来(每秒只能移动一格)
故 dp[i][j]=max(dp[i-1][j] dp[i-1][j-1] dp[i-1][j+1])+cat[i][j]
答案: max(dp[maxt][i])
3.限制
由于初始时TT在位置5上 故第一秒时 TT只能在4 5 6三个位置
第二秒时 TT只能在 3 4 5 6 7 五个位置
···依次类推
故用数组v[]来限制
总结
很明显的一道DP题 只需要找到dp的状态和转移方程就好啦~
代码
#includeD.[树型DP]苹果树
题意
已知树上共有 N 个节点，每个节点对应一个快乐值为 w[i] 的苹果，为了可持续发展，TT 要求摘了某个苹果后，不能摘它父节点处的苹果。
TT 想要令快乐值总和尽可能地大，你们能帮帮他吗？
样例
样例输入：
结点按 1～N 编号。
第一行为 N (1 ≤ N ≤ 6000) ，代表结点个数。
接下来 N 行分别代表每个结点上苹果的快乐值 w[i]（-128 ≤ w[i] ≤ 127)。
接下来 N-1 行，每行两个数 L K，代表 K 是 L 的一个父节点。
输入有多组，以 0 0 结束。
7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
7 4
2 3
4 5
6 4
3 5
0 0
样例输出：
每组数据输出一个整数，代表所选苹果快乐值总和的最大值。
5
思路
1.很经典的一道树型DP题 因为树结构非常明显
2.考虑一下状态 dp[i][0/1]分别表示 第i个点去或不去时 以i为根的子树能获得的最大快乐值
3.状态转移:
dp[i][1]时 他的所有直接孩子都不能去 故dp[i][1]=segma(dp[v][0])+w[i]
dp[i][0]时 他的孩子可以去 也可以不去 故dp[i][0]=segma(max(dp[v][0],dp[v][1]))
4.答案
max(dp[root][0],dp[root][1])
5.只需要从根开始 向下dfs即可
总结
树型DP特殊的一点在于是在树上的DP(好像确实是废话TAT)
所以特殊的地方在于 是递归的DP思路 而不是一般的DP时的递推思路
代码
#includeE.[单调队列优化DP]神秘任务3
题意
给定一个环，A[1], A[2], A[3], … , A[n]，其中 A[1] 的左边是 A[n]。要求从环上找出一段长度不超过 K 的连续序列，使其和最大。
样例
样例输入：
第一行一个整数 T，表示数据组数，不超过 100。
每组数据第一行给定两个整数 N K。（1 ≤ N ≤ 100000, 1 ≤ K ≤ N）
接下来一行，给出 N 个整数。（-1000 ≤ A[i] ≤ 1000）。
4
6 3
6 -1 2 -6 5 -5
6 4
6 -1 2 -6 5 -5
6 3
-1 2 -6 5 -5 6
6 6
-1 -1 -1 -1 -1 -1
样例输出:
对于每一组数据，输出满足条件的最大连续和以及起始位置和终止位置。
如果有多个结果，输出起始位置最小的，如果还是有多组结果，输出长度最短的。
7 1 3
7 1 3
7 6 2
-1 1 1
思路
1.首先思考如何处理环？
将序列长度扩展到2*n-1 即将环剪开 例:1 2 3 4 (1) 可以拆成链 1 2 3 4 1 2 3
2.拆成链后 如何在链上计算有限制的最大连续序列和呢？
先维护前缀和
可以采用贪心的思想 即枚举每个点作为序列的右端点i
然后从[i-k,i]中找到一个j 使得sum[j]最小 这样sum[i]-sum[j-1]就是最大的了
考虑到这里后 我们发现需要维护部分区间上的最小值 于是可以考虑用单调队列来维护这个最小值
就可以把O(nk)的复杂度优化到O(n)
总结
由于要用到部分区间上的最小值 故考虑用单调队列来维护
TIPS:本题中 由于sum[i]-sum[j]指的是[j+1,i]这个区间 而右端点实际上是从[i-k,i]的 当j=i时 会出现[i+1,i]的诡异情况 所以我们在维护单调队列时 先进行维护区间大小 然后更新max值 最后再用sum[i]维护单调性 为i+1的计算做准备即可
代码
#include