动态规划的单调队列优化（含多重背包）
什么是单调队列
单调队列就是元素单调的队列，譬如一个队列中的元素为1，2，3，4，5，6，单调递增，这就是一个单调队列。咱们先看一道单调队列的模板题：poj2823/洛谷P1886
怎么维护单调队列呢？譬如维护一个单调递增的队列，就是要进入一个元素的时候，把队尾小于它的元素统统出队即可。而在例题中，我们还要记录每个元素在原来数组中的下标以确定是否可用，如果已经出了当前窗口，则出队。
代码：
void getmin(){//单调递增
int he=1,ta=1,i;
for(i=1;i<=n;i++){
while(he1]>=a[i])ta--;
q[ta]=a[i];bj[ta]=i;ta++;
if(i>=m){
while(heprintf("%d ",q[he]);
}
}
}
void getmax(){//单调递减
int he=1,ta=1,i;
for(i=1;i<=n;i++){
while(he1]<=a[i])ta--;
q[ta]=a[i];bj[ta]=i;ta++;
if(i>=m){
while(heprintf("%d ",q[he]);
}
}
} 单调队列优化动态规划
例题1：洛谷P1725 琪露诺
链接：走你╭(′▽`)╯
这题就当是单调队列入门啦。
大家都知道 f[i]=max(f[j])+v[i](i−r<=j<=i−l)
直接这么dp肯定超时，那么我们可以把 f[i−r] 到 f[i−l] 这一段都扔到单调队列里，然后取队首即可
单调队列一定不能删除还有可能用到的元素，也不能添加暂时不会用的元素，所以我们要确保在用单调队列时， i−l 加了进去，没有被其后的元素删掉，而其后的东西也没有加进去。
所以就有了代码中的写法
代码：
#include1]]<=f[i-l])ta--;
bj[ta]=i-l;ta++;
while(heif(i>=n-r)ans=max(ans,f[i]);
}
printf("%lld",ans);
return 0;
} 例题2：UESSTC594我要长高
链接：走你╭(′▽`)╯
这题充满了恶意啊……
容易想到用 f[i][j] 表示第 i 个儿子长 j 这么高的时候的最小损失值(x[i]表示i儿子本来的身高，则:
现在我们分类讨论一下，假如 j>k :
变形可得：
显然前面那一坨可以塞在一个单调队列里来求小于j的情况下的最优k，具体怎么实现看代码吧。然后 j<k 的情况也差不多：
得到了美妙的代码：
#includefor(i=x;i<=100;i++)f[t][i]=(x-i)*(x-i);
for(i=2;i<=n;i++){
t=i&1;x=read();
he=ta=1;
for(j=0;j<=100;j++){//比前一个人高，显然弄到j的时候k取0~j-1的情况都已讨论过
int kl=f[t^1][j]-j*c;
while(he1]>=kl)ta--;
q[ta]=kl;ta++;
if(jelse f[t][j]=q[he]+j*c+(x-j)*(x-j);
}
he=ta=1;
for(j=100;j>=0;j--){//比前一个人矮，显然弄到j的时候k取j+1~100的情况都已讨论过
int kl=f[t^1][j]+j*c;
while(he1]>=kl)ta--;
q[ta]=kl;ta++;
if(jelse f[t][j]=min(f[t][j],q[he]-j*c+(x-j)*(x-j));
}
}
t=n&1;ans=inf;
for(i=0;i<=100;i++)ans=min(ans,f[t][i]);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
} 例题3：HDU3401
链接：走你╭(′▽`)╯
题目大意是买股票，第i天买花 ap[i] 元，卖得 bp[i] 元，可以买 as[i] 张或者卖 bs[i] 张，两次交易之间必须间隔 w 天，并且手上最多持有 m 股，求最多赚多少钱。
f[i][j] 表示第i天持有j股的最多收益，
如果不交易，那么 f[i][j]=f[i−1][j]
如果买 f[i][j]=f[i−w−1][k]−(j−k)∗ap[i]
如果卖 f[i][j]=f[i−w−1][k]+(k−j)∗bp[i]
（因为不交易的状态已经转移了，所以买和卖只要考虑第 i−w−1 天即可）
然后我们把状态转移方程变形一下，就是
买： f[i][j]=(f[i−w−1][k]+k∗ap[i])−j∗ap[i]
卖： f[i][j]=(f[i−w−1][k]+k∗ab[i])−j∗bp[i]
前面那陀塞单调队列里，处理一下边界，然后就是考虑一下买的数量的问题即可。
#include1]<=kl)ta--;
q[ta]=kl;bj[ta]=j;ta++;
while(heas[i])he++;
f[i][j]=max(f[i][j],q[he]-j*ap[i]);
}
he=ta=1;
for(j=m;j>=0;j--){//不买
kl=f[i-w-1][j]+j*bp[i];
while(he1]<=kl)ta--;
q[ta]=kl;bj[ta]=j;ta++;
while(hebs[i])he++;
f[i][j]=max(f[i][j],q[he]-j*bp[i]);
}
}
ans=0;
for(i=0;i<=m;i++)ans=max(ans,f[n][i]);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
} 例题4：POJ1821
链接：走你╭(′▽`)╯
题目大意：你带着一群工人刷墙，第i个工人被502胶粘在了s[i]号位子上，他由于手臂长度，唯一的刷墙方式是大手一挥，将第s[i]格加上两边的格子共计k个刷好（0<=k<=l[i]，刷了就必须刷s[i]格)，然后他刷一格要p[i]元的工资。你现在想尽可能多的坑钱，但是反复刷一个格子太明显了是要不得的，求最多可以坑多少钱。
设f[i][j]表示前i个工人刷j个格子（显然工人已经按照站位排好序了），那么：
分别表示第j面墙不刷，第i个工人自己玩儿去，和一个转移。
于是我们把后面的式子变形，有k的放在一块儿（肯定大家已经会变了吧, f[i][j]=(f[i−1][k]−k∗p[i])+j∗p[i]
不过边界值是很麻烦的，对于可以作为k的值，一定满足 k<s[i] ，对于可以使用第3个方程的j值，一定满足 j>=s[i]
#includeint main()
{
int i,j,he,ta,kl;
m=read();n=read();
for(i=1;i<=n;i++)t[i].l=read(),t[i].p=read(),t[i].s=read();
sort(t+1,t+1+n,cmp);
for(i=1;i<=n;i++){
he=ta=1;
for(j=0;j<=m;j++){
if(j!=0)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
else f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=t[i].s+t[i].l)continue;//有些木板不能涂色
if(j//符合条件的才可以入队！
kl=f[i-1][j]-j*t[i].p;
while(he1]<=kl)ta--;
q[ta]=kl;bj[ta]=j;ta++;
continue;//第i个人不能涂这些木块
}
while(het[i].l)he++;
f[i][j]=max(f[i][j],q[he]+t[i].p*j);
}
}
for(i=1;i<=m;i++)ans=max(ans,f[n][i]);
printf("%d",ans);
return 0;
} 多重背包单调队列优化
例题：HDU2191，codevs5429
优化的原理是啥呢？w[i]表示物品重量，v[i]表示价值，c[i]表示数量，我们知道朴素状态转移方程：
f[i][j]=max(f[i−1][j−w[i]∗k]+v[i]∗k); (k<=c[i])
现在我们要把这个方程变成一个单调队列可以优化的形式，于是我们假设 d=jmodw[i],s=⌊jw[i]⌋
f[i][j]=max(f[i−1][d+w[i]∗k]−v[i]∗k)+v[i]∗s (s-k<=c[i])
这应该是没有问题的吧？所以我们枚举余数d，然后对于每个余数d都用单调队列优化即可。
#include1;
for(j=0;j<=(m-d)/w;j++){//先存进去，后取出来
int tmp=f[j*w+d]-v*j;
while(he1]<=tmp)--ta;
q[ta]=tmp,num[ta++]=j;
while(hes)++he;
f[j*w+d]=max(f[j*w+d],q[he]+v*j);
}
}
}
printf("%d\n",f[m]);
}
return 0;
} 总结
可以用单调队列优化的dp题在将方程变形后，有一段可以看做不含有当前状态j，只含有前置状态k的一个整体，这个整体可以塞到单调队列里。