《怎样解题》
有很多题是在多个板块内出现了的，所以看起来多，实际上是垃圾文章。
文章目录
- 1.动态规划
- 1.1.状态定义
- 1.1.1.含量
- 1.1.2.松紧
- 1.1.3.思想
- 1.2.状态转移
- 1.3.相信我
- 1.4. U n b e l i e v a b l e ! \tt Unbelievable! Unbelievable!
- 2.贪心
- 2.1.基础
- 2.2.模型
- 3.数学
- 3.1.解方程
- 3.2.推式子
- 3.3.多项式
- 3.4.组合数学
- 3.5.容斥原理
- 4.从问题入手
- 4.1.套路
- 4.2.等价变换
- 4.3.旁敲侧击
- 4.4.性质
- 4.5.特殊化
- 5.最值（堆）
- 6.树
- 6.1.树上路径
- 6.2.树上容斥
- 7.奇技淫巧
- 7.1.离散化
- 7.2.多源点最短路
- 7.3.哈希
- 7.4. S T \tt ST ST表（倍增）
- 7.5.单调栈
- 7.6.自变量？因变量！
- 7.7.部分枚举
- 7.8.权值分摊
- 8.构造
- 8.1.微调法
- 8.2.特值法
- 8.3.天马行空！
- 更新日志
- 2020 / 1 / 11 u p d a t e \tt{2020/1/11\; update} 2020/1/11update
- 2020 / 1 / 30 u p d a t e \tt{2020/1/30\; update} 2020/1/30update
- 2020 / 2 / 4 u p d a t e \tt{2020/2/4\; update} 2020/2/4update
- 2020 / 2 / 12 u p d a t e \tt{2020/2/12\; update} 2020/2/12update
- 2020 / 7 / 29 u p d a t e \tt{2020/7/29\; update} 2020/7/29update
- 20200 / 8 / 9 u p d a t e \tt{20200/8/9\; update} 20200/8/9update
1.动态规划
1.1.状态定义
1.1.1.含量
一个好的状态定义，一定有这样的特点：它注重于通性，而非具体情况。
譬如说，求方案数量，很多方案将会被保存在同一个状态里。为什么？因为这些方案在一些地方上是一样的，而且这些地方才是重要的地方，这些地方才会影响后续的行动，这些地方是其精髓。
例1.1.1.1 N e w Y e a r a n d A r b i t r a r y A r r a n g e m e n t \tt{New\; Year\; and\; Arbitrary\; Arrangement} NewYearandArbitraryArrangement、 A N D S e g m e n t s \tt AND\; Segments ANDSegments
例1.1.1.2 CF1151F Sonya and Informatics
当然，肆无忌惮地舍弃掉大量信息，是不可取的。你得保留必要的信息。
例1.1.1.3 战争调度、 C o n n e c t i n g V e r t i c e s \tt Connecting\; Vertices ConnectingVertices
对于一些附加了“权值”的定义，可能需要一些特殊技巧。
- 改变递推顺序。
- 费用提前计算。
- 分类讨论。
当然，还是那句话，这些东西的本质都是 让影响权值的东西尽量少。
例1.1.1.4 小奇探险、命运
例1.1.1.5 E m i y a \tt{Emiya} Emiya 家的饭
例1.1.1.6 简单的 n i m \tt{nim} nim 游戏
不要把很多步骤分开，导致状态数太多。有时候，就要一次性多考虑点东西。
例1.1.1.7 病毒研究
1.1.2.松紧
有的时候，你不得不强制规定一些情况，来便于转移。也就是说，你规定 g ( i ) = f ( i , x i ) g(i)=f(i,x_i) g(i)=f(i,xi) ，以此来减少状态的维度。这往往在试图使用滚动数组时会被自然发现。
例1.1.2.1 划分、小奇探险
更多时候，你让一些状态包揽下原本不属于它的方案。这会使你更快的转移。
例1.1.2.2 奶牛家谱
例1.1.2.3 分裂
1.1.3.思想
你还是得结合该问题的性质去思考一个问题。当方案有特殊性质时，你应该去使用它们。
例1.1.3.1 M a j a \tt{Maja} Maja、 V a s y a a n d M a x i m u m M a t c h i n g \tt Vasya\; and\; Maximum\; Matching VasyaandMaximumMatching
例1.1.3.2 说无可说、 P a r t y \tt Party Party
例1.1.3.3 C u t l e t \tt Cutlet Cutlet（或许应该放在 1.4.Unbelievable! 里面?）
分类讨论真的很好用。仅仅在互不相干时可行。
例1.1.3.4 宝牌一大堆、皮配
例1.1.3.5 G a m e o f t h e R o w s \tt{Game\; of\; the\; Rows} GameoftheRows
例1.1.3.6 A r p a a n d a l i s t o f n u m b e r s \tt{Arpa\; and\; a\; list\; of\; numbers} Arpaandalistofnumbers
有的值很小，就把它放进状态里。不要陷入思维定式。
例1.1.3.7 CF744C Hongcow Buys a Deck of Cards
1.2.状态转移
配合单调队列（单调栈）使用。经典的滑窗、斜率优化皆为此类。
再或者，配合数据结构使用。
例1.2.1 货物分组、 M e m o r y a n d C a s i n o s \tt{Memory\; and\; Casinos} MemoryandCasinos
或者是长链剖分（或滚动数组）、树上启发式合并（或 d s u o n t r e e \tt dsu\; on\; tree dsuontree ）一类的。
例1.2.2 小奇的旅行计划
例1.2.3 洛谷P5291 [十二省联考2019]希望
如果 转移不具有时效性，往往可以贪心，或者钦定一部分元素。
例1.2.4 愤怒的小鸟
排序后，再递推，往往有奇效。用来满足方案的限制条件。
例1.2.5 洛谷P2132 小Z的队伍排列、 R o t a t e C o l u m n s ( h a r d v e r s i o n ) \tt Rotate\; Columns\; (hard\; version) RotateColumns(hardversion)
当然咯，矩乘快速幂、卷积（生成函数）等，就是必备功课了。
例1.2.6 魔法石
例1.2.7 序列计数
例1.2.8 逼死强迫症
例1.2.9 L a d i e s ′ S h o p \tt{Ladies'\; Shop} Ladies′Shop
例1.2.10 T h e C h i l d a n d B i n a r y T r e e \tt{The\; Child\; and\; Binary\; Tree} TheChildandBinaryTree
转移的时候，可以枚举某个不会引起算重的值。比如 max \max max 等。
例1.2.11 泳池（同时也是多项式优化）
例1.2.12 B o r d e r l e s s \tt{Borderless} Borderless
如果转移有环，可以考虑转化为图论，用最短路求解。
例1.2.13 T h e G r e a t M i x i n g \tt The\; Great\; Mixing TheGreatMixing
1.3.相信我
相信 d p \tt{dp} dp ，它是万能的！顶多会超时。
最重要的是发现 独立子问题，最优子结构太好找了，不谈。
例1.3.1 T r a i n T r a c k i n g \tt{Train\; Tracking} TrainTracking
例1.3.2 守卫
例1.3.3 舞会、 L o g i c a l E x p r e s s i o n \tt Logical\; Expression LogicalExpression
例1.3.4 B o r d e r l e s s \tt{Borderless} Borderless
例1.3.5 M o o n C r a t e r s \tt Moon\; Craters MoonCraters
例1.3.6 S h o r t C o l o r f u l S t r i p \tt Short\; Colorful\; Strip ShortColorfulStrip
没必要一次 d p \tt dp dp 解决所有问题。
例1.3.7 A r r a y S h r i n k i n g \tt Array\; Shrinking ArrayShrinking
1.4. U n b e l i e v a b l e ! \tt Unbelievable! Unbelievable!
这要是人类想出来的，我吃 s h i \tt shi shi 好嘛！这里的 s h i \tt shi shi 是食物的食，而不是 。
例1.4.1 机器人高尔夫球赛
例1.4.2 BZOJ4899 记忆的轮廓
例1.4.3 数字
有些不是动态规划的，我懒得改动了，也放这里。
例1.4.4 T a b l e \tt Table Table
2.贪心
2.1.基础
你只要可以放心的说：“把原有的替换，一定不会更差”，你就可以上了。
例2.1.1 推销员、 C u r f e w \tt Curfew Curfew
例2.1.2 三人组舞
例2.1.3 扭动的回文串
或者说，你证明“不影响以后操作”即可。
例2.1.4 春节十二响
有时候最好感性理解一下。当然，如果用归纳法证明出来了，那就是极好的。
例2.1.5 划分
越紧急越优先处理。分配优先级应该是贪心范畴？
例2.1.6 D e a d L e e \tt DeadLee DeadLee
2.2.模型
至今，我觉得最神奇的两个贪心就是：
- 不守交规。
- 排序后模拟。
例2.2.1 蔬菜
当然咯，说到别的模型，肯定少不了 H a f f m a n \tt{Haffman} Haffman 树（藏在此博客中）。
3.数学
3.1.解方程
暴力解方程并不是一件和听上去一样简单的事情。
例3.1.1 T h e L u c k i e s t N u m b e r \tt{The\; Luckiest\; Number} TheLuckiestNumber
例3.1.2 P e r i o d O f N u m b e r \tt{Period\; Of\; Number} PeriodOfNumber
例3.1.3 糖果传递
例3.1.4 命运
例3.1.5 C o n t a c t A T C \tt{Contact\; ATC} ContactATC
3.2.推式子
例3.2.1 等比数列三角形
例3.2.2 幂和
例3.2.3 泰勒板题？
例3.2.4 一个简单的询问
例3.2.5 矩阵
例3.2.6 T r e e \tt{Tree} Tree
例3.2.7 数三角形、洛谷P3271 [JLOI2016]方
例3.2.8 魔法石
例3.2.9 j z p t a b \tt{jzptab} jzptab
例3.2.10 树、 S a s h a a n d A r r a y \tt Sasha\; and\; Array SashaandArray
3.3.多项式
往往是优化 d p \tt{dp} dp 而写的生成函数。见 1.2.状态转移 。
其他情况，全是板子，很难想到。无非就是：
- 字符串匹配。
- 母函数（计数用）。
- 概率生成函数。
例3.3.1 字符串匹配
例3.3.2 巧克力！
例3.3.3 歌唱王国
3.4.组合数学
去重，一直是重大课题。可以考虑 以某种特定的方式将问题拆分（往往适用于动态规划）。
例3.4.1 鸽子的糖
其实，拆分的本质是重组，重组的本质是 生成一组解。
例3.4.2 简单的序列问题
还有一些模板。背下来吧！
- 卡特兰数： S 0 = 1 , S n = C 2 n n n + 1 = C 2 n n − C 2 n n + 1 = ∑ x = 0 n − 1 S x S n − x − 1 S_0=1,S_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}=\sum_{x=0}^{n-1}S_xS_{n-x-1} S0=1,Sn=n+1C2nn=C2nn−C2nn+1=∑x=0n−1SxSn−x−1 。
- 卢卡斯定理： C n m m o d p = C ⌊ n p ⌋ ⌊ m p ⌋ × C n m o d p m m o d p ( p ∈ P ) C_n^m\bmod p=C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\times C_{n\bmod p}^{m\bmod p}(p\in \mathbb{P}) Cnmmodp=C⌊pn⌋⌊pm⌋×Cnmodpmmodp(p∈P)， P \Bbb{P} P是质数集。
- 中国剩余定理 C R T \tt CRT CRT
例3.4.3 砖块垒梯
例3.4.4 坏天平
3.5.容斥原理
往往是这样的情形：固定某个值，很难做；限制其范围，很好做。
例3.5.1 和谐相处
例3.5.2 C a r d C o l l e c t o r \tt{Card\; Collector} CardCollector
例3.5.3 洛谷P1450 [HAOI2008]硬币购物
例3.5.4 小星星
例3.5.5 矩阵填数
短短四字，个中奥妙，意蕴深长：正难则反。
例3.5.6 序列计数
4.从问题入手
4.1.套路
见到“最小值最大”“最大值最小”就应该注意了。
例4.1.1 J O I O I \tt{JOIOI} JOIOI 王国
例4.1.2 小屁孩领糖吃
有关连通性的问题，可以考虑并查集。
例4.1.3 裁剪线
考虑前 k k k 大的巴拉巴拉，可以用二分法。
例4.1.4 异或粽子
4.2.等价变换
看上去，题目要你求解 x x x ，其实， x x x 本质上就是 y y y ，或者等价于 y y y 。特别是转化为图论。
例4.2.1 算术天才 ⑨ ⑨ ⑨与等差数列
例4.2.2 S o r t i t o u t \tt{Sort\; it\; out} Sortitout
例4.2.3 城市地铁规划
例4.2.4 序列
例4.2.5 小 w w w 的魔术扑克
例4.2.6 劈配
例4.2.7 I I I D X \tt{IIIDX} IIIDX
例4.2.8 庞氏骗局
例4.2.9 B e y o n d \tt{Beyond} Beyond
例4.2.10 七夕祭
例4.2.11 G a m e \tt{Game} Game
例4.2.12 如厕计划
例4.2.13 M a f i a \tt{Mafia} Mafia
例4.2.14 M a x i m u m M a t c h i n g \tt{Maximum\; Matching} MaximumMatching
例4.2.15 F r e d a \tt{Freda} Freda 的迷宫
例4.2.16 M a g i c M a t r i x \tt Magic\; Matrix MagicMatrix
例4.2.17 R o o t e r ′ s S o n g \tt{Rooter's\; Song} Rooter′sSong
例4.2.18 舞会
例4.2.19 T r u c k s a n d C i t i e s \tt Trucks\; and\; Cities TrucksandCities
例4.2.20 S h o r t C o l o r f u l S t r i p \tt Short\; Colorful\; Strip ShortColorfulStrip
4.3.旁敲侧击
你知道了另一个东西，可以快速推出要求的东西。尽管这两个东西可能看上去毫无干系。
例4.3.1 校长的障碍赛
例4.3.2 A r r a y S h r i n k i n g \tt Array\; Shrinking ArrayShrinking
4.4.性质
当可行方案（最优方案）一定具有某种特性（单调性……）的时候，千万要注意。
例4.4.1 排列
例4.4.2 T h e C o w G a t h e r i n g \tt{The\; Cow\; Gathering} TheCowGathering
例4.4.3 道路设计
例4.4.4 划分
例4.4.5 小凸玩密室
例4.4.6 冒泡排序
例4.4.7 M a x i m u m M a t c h i n g \tt{Maximum\; Matching} MaximumMatching
例4.4.8 M a x i m i z e ! \tt{Maximize!} Maximize!
例4.4.9 H a p p y L i n e \tt Happy\; Line HappyLine
例4.4.10 M a z e 1 D \tt Maze\; 1D Maze1D
例4.4.11 S i m p l e S k e w n e s s \tt Simple\; Skewness SimpleSkewness
例4.4.12 V l a d i k a n d c a r d s \tt Vladik\; and\; cards Vladikandcards
4.5.特殊化
明明本质就是另一个问题，但时间复杂度不能通过，为什么？因为它是特殊化的情况。在最小生成树问题中尤甚。显然，我们要去发掘其性质。
例4.5.1 御神渡
例4.5.2 新年的繁荣
5.最值（堆）
堆里面的元素要尽量的少，才能减少复杂度。这要求我们，“在堆外”比较方案。
例5.1 奇怪的厨师
例5.2 异或粽子
或者是 避免重复的元素。
例5.3 最优卡组
6.树
6.1.树上路径
可以枚举 l c a lca lca （即，点分治）、枚举一条必经边（即，边分治）。或者直接树链剖分。
例6.1.1 路径计数机
例6.1.2 简单的树上问题
例6.1.3 垃圾分类
6.2.树上容斥
树上的容斥（尤其是“方案只可能为连通块”的情况），可以用 ∣ V ∣ − ∣ E ∣ = 1 |V|-|E|=1 ∣V∣−∣E∣=1 这一招。
例6.2.1 洛谷P5291 [十二省联考2019]希望
7.奇技淫巧
7.1.离散化
只关心两两大小关系 或者 只需要知道极少的信息就可得到解，而数据量少，可以考虑离散化。
例7.1.1 矩阵填数
7.2.多源点最短路
例7.2.1 旅行者
7.3.哈希
例7.3.1 信竞就是修电脑
例7.3.2 扭动的回文串
7.4. S T \tt ST ST表（倍增）
例7.4.1 英语危机
例7.4.2 神 J J J 上树
例7.4.3 线段树
7.5.单调栈
例7.5.1 序列
例7.5.2 下雨天
例7.5.3 路由表
例7.5.4 洪流
例7.5.5 稻草人
7.6.自变量？因变量！
比如有 n n n 个数字，我们要枚举 n n n 个数字，我们有另一个方案：枚举值。
例7.6.1 CF662C Binary Table
例7.6.2 洛谷P3704 [SDOI2017]数字表格
7.7.部分枚举
最近发现部分枚举的题不少，还是单独拿出来写一写。
比较经典的名号是折半搜索。其实远不止此类。
例7.7.1 B e a u t i f u l R e c t a n g l e \tt Beautiful\; Rectangle BeautifulRectangle
例7.7.2 CF799E Aquarium decoration
例7.7.3 CF620D Professor GukiZ and Two Arrays
例7.7.4 CF1006F Xor-Paths
例7.7.5 CF799D Field expansion
例7.7.6 S e l l i n g S o u v e n i r s \tt Selling\; Souvenirs SellingSouvenirs
例7.7.7 S i m p l e S k e w n e s s \tt Simple\; Skewness SimpleSkewness
例7.7.8 R e s t o r e t h e P e r m u t a t i o n b y S o r t e d S e g m e n t s \tt Restore\; the\; Permutation\; by\; Sorted\; Segments RestorethePermutationbySortedSegments
例7.7.9 D e v e l o p i n g G a m e \tt Developing\; Game DevelopingGame
7.8.权值分摊
神奇的技巧！比如，将某个贡献放在一个对象上，或者将一个对象上的贡献拆成多个。
例7.8.1 旧词
例7.8.2 洛谷P6622 [省选联考 2020 A/B 卷] 信号传递
例7.8.3 J e f f a n d P e r m u t a t i o n \tt Jeff\; and\; Permutation JeffandPermutation
8.构造
构造是很神奇的。很神奇。想的到，简单的一批；想不到，我带你们打。
8.1.微调法
首先生成一个解（或者，只满足部分条件），然后使其不断地更优（或者，逼近其他条件）。
例8.1.1 M a t h \tt{Math} Math
例8.1.2 M a h m o u d a n d E h a b a n d t h e x o r \tt{Mahmoud\; and\; Ehab\; and\; the\; xor} MahmoudandEhabandthexor
例8.1.3 挑战 N P − H a r d {\tt NP}\tt{-}{\tt Hard} NP−Hard
8.2.特值法
取一个特值，马上简单很多。往往是因为这里可以作为 突破口。
例8.2.1 C o n g r u e n c e E q u a t i o n \tt{Congruence\; Equation} CongruenceEquation
例8.2.2 F i v e D i m e n s i o n a l P o i n t s \tt{Five\; Dimensional\; Points} FiveDimensionalPoints
例8.2.3 S p a c e I s a a c \tt{Space\; Isaac} SpaceIsaac
例8.2.4 R e s t o r e A r r a y \tt Restore\; Array RestoreArray
8.3.天马行空！
求什么就来什么。往往想不到。
例8.3.1 T h e h a t \tt{The\; hat} Thehat
例8.3.2 D o w n o r R i g h t \tt{Down\; or\; Right} DownorRight
例8.3.3 E n c h a n t e d A r t i f a c t \tt Enchanted\; Artifact EnchantedArtifact
例8.3.4 G u e s s T h e R o o t \tt Guess \;The \;Root GuessTheRoot
例8.3.5 J z z h u a n d A p p l e s \tt Jzzhu\; and\; Apples JzzhuandApples
例8.3.6 L i t t l e P o n y a n d S u m m e r S u n C e l e b r a t i o n \tt Little\; Pony\; and\; Summer\; Sun\; Celebration LittlePonyandSummerSunCelebration
例8.3.7 R e s t o r e t h e P e r m u t a t i o n b y S o r t e d S e g m e n t s \tt Restore\; the\; Permutation\; by\; Sorted\; Segments RestorethePermutationbySortedSegments
例8.3.8 CF798D Mike and distribution
那种用白框框框起来的，就是咕咕咕了的博客……
A l w a y s T o B e C o n t i n u e d … Always\quad To\quad Be\quad Continued\quad \dots AlwaysToBeContinued…
更新日志
2020 / 1 / 11 u p d a t e \tt{2020/1/11\; update} 2020/1/11update
很久没更新了。感觉自己好弱，要提前退役了。真是糟糕。
2020 / 1 / 30 u p d a t e \tt{2020/1/30\; update} 2020/1/30update
大刀阔斧地对此博客进行修改。差点把自己榨干。
但是有了一大创举：增加了 更新日志 板块，来观察自己的弱小。
2020 / 2 / 4 u p d a t e \tt{2020/2/4\; update} 2020/2/4update
为使更新日志不至于过长，只在进行大改动的时候（尤其是加入新版块）才写更新日志。
补充鸽了的博客，就不占地方了。然而这个更新本身也不是大更新啊。
2020 / 2 / 12 u p d a t e \tt{2020/2/12\; update} 2020/2/12update
做了几道构造的题，比较新奇。交互题。
所以加入了 8.构造 板块，希望以后不会一脸懵逼。
2020 / 7 / 29 u p d a t e \tt{2020/7/29\; update} 2020/7/29update
从今天开始可能要断更了。教练并不允许我花时间总结。我能做的就是切题。
希望有一天，在我 O I \tt OI OI 路结束的时候，我看到这篇博客，心中有敬畏之情。
20200 / 8 / 9 u p d a t e \tt{20200/8/9\; update} 20200/8/9update
没有什么话是不能真香的。如果有，那一定是“这句话是谎话”一类的逻辑怪圈。
所以小蒟蒻 J Z M \tt JZM JZM 开始继续努力啦！