学习笔记十七——插值与曲线拟合

现实生活中，有的 $f(x)$ 只提供了一些离散点上的函数值或导数值，人们自然希望能找到一个逼近 $f(x)$ 的简单函数 $P(x)$ .

Lagrange插值

多项式
$$l_i(x)=\prod _{i=0,i̸=j}^n\frac{x-x_i}{x_j-x_i}$$
满足
$$l_j(x_i)=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i̸=j,\end{array}i,j=0,1,2,\cdots ,n.$$
代数差值问题的解
$$P_n(x)=\sum _{j=0}^n{y}_j{l}_j(x),n>0,$$
则 $P_n(x)$ 在[a,b]上的截断误差为
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{\omega }_{n+1}(x),x\in [a,b]$$
其中 $\xi$ 在诸 $x_i$ 与 $x$ 之间，$$w_{n+1}(x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i).$$

Newton插值公式

**定义：**设 $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ 为区间 [a,b] 上的互异节点，则称 $f(x_i)$ 为 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的零阶差商；称
$$\frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}$$
为函数 $f(x)$ 在 $x_i,x_j$ 处的一阶差商，记为 $f[x_i,x_j]$；一般称
$$f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]=\frac{f[x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1}]-f[x_1,x_2,\cdots ,x_n]}{x_0-x_n}$$
为 $f(x)$ 在 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 出的 $n$ 阶差商。
由此可以得到 $n$ 次Newton插值公式：
$$f(x)=N_n(x)+R_n(x),$$
其中
$$\begin{gathered} N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+\cdots +f[x_0,x_1,\cdots ,x_n]w_n(x) \\ {R}_n(x)=f[x_0,x_1,\cdots ,x_n,x]w_{n+1}(x) \\ {w}_n(x)=\prod _{i=0}^{n-1}(x-x_i) \end{gathered}$$
其截断误差与 Lagrange插值 一样。
实战技巧：
$$\begin{gathered} f(x_0) \\ \searrow . \\ f(x_1)\to f[x_0,x_1] \\ \searrow \searrow . \\ f(x_2)\to f[x_1,x_2]\to f[x_0,x_1,x_2] \\ \cdots \end{gathered}$$