《高等统计物理学》4：量子系综的实际问题
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上一篇文章《高等统计物理学》3：量子系综 从经典系综类比到量子系综，而量子系综作为高等统计物理中的一个重点，我们需要更进一步感受和理解它在实际当中的应用，本部分将从以下几点来一一复习。
三. 量子统计系综的实际问题
1. 计算密度算符
比如：设一个自由粒子处于边长 L L L 的立方形容器中，试证明在坐标表象下的密度算符矩阵元为 < r ∣ ρ ^ ∣ r ′ > = 1 V e − m ( r − r ′ ) 2 / 2 ℏ 2 β ，
证明：在此之前，要会解薛定谔方程（参考《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）），求出波函数和能级！这里首先给出粒子的本征函数 φ ( x ) = 1 L 3 / 2 e i k r ， \varphi(x)=\frac{1}{L^{3/2}}e^{ikr} ， φ(x)=L3/21eikr，本征能量值为 E k = ℏ 2 k 2 2 m 。 E_k=\frac{\hbar^2k^2}{2m} 。 Ek=2mℏ2k2。（待解决问题1:怎么算出的本征函数和本征能量值？）得到 ρ ^ = 1 Z e − β H ^ = ∑ k ∣ k > 1 Z e − β H ^ < k ∣ = ∑ k ∣ k > 1 Z e − β E k < k ∣ ， \hat \rho=\frac{1}{Z}e^{-\beta \hat H}=\sum_k|k>\frac{1}{Z}e^{-\beta \hat H}
先考虑坐标表象，设 ∣ r > |r> ∣r> 是正交归一化的基矢，则 ρ ^ \hat \rho ρ^ 的矩阵元是 < r ∣ ρ ^ ∣ r ′ > = ∑ k < r ∣ k > 1 Z e − β E k < k ∣ r ′ > = ∑ k φ k ( r ) 1 Z e − β E k φ k ∗ ( r ′ ) = ∑ k 1 L 3 / 2 e i k r 1 Z e − β E k 1 L 3 / 2 e − i k r ′ = ∑ k 1 Z L 3 e − β ℏ 2 k 2 / 2 m + i k ( r − r ′ ) = 1 ( 2 π ) 3 Z e − ∫ − β ℏ 2 k 2 / 2 m + i k ( r − r ′ ) d k = 1 Z ( m 2 π ℏ 2 β ) 3 / 2 e − m ( r − r ′ ) 2 / 2 ℏ 2 β \begin{aligned}
< H ^ > = t r ( ρ ^ H ^ ) = t r ( e − β H ^ H ^ ) = − ∂ ∂ β [ t r ( e β H ^ ) ] = − ∂ ∂ β ln [ t r ( e β H ^ ) ] = − ∂ ∂ β ln Z = − ∂ ∂ β ln ( V ( m 2 π ℏ 2 β ) 3 / 2 ) = − ∂ ∂ β ln ( V 2 / 3 ( m 2 π ℏ 2 β ) ) 3 / 2 = 3 2 [ − ∂ ∂ β ln ( V 2 / 3 m 2 π ℏ 2 β ) ] = 3 2 β = 3 2 k B T \begin{aligned} <\hat H>&=tr(\hat \rho \hat H)=tr(e^{-\beta \hat H}\hat H)=-\frac{\partial}{\partial \beta}[tr(e^{\beta \hat H})]=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln[tr(e^{\beta \hat H})]\\ &=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln(V(\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta})^{3/2})=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln(V^{2/3}(\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta}))^{3/2}\\ &=\frac{3}{2}[-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln(V^{2/3}\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta})]=\frac{3}{2\beta}=\frac{3}{2}k_BT \end{aligned} <H^>=tr(ρ^H^)=tr(e−βH^H^)=−∂β∂[tr(eβH^)]=−∂β∂ln[tr(eβH^)]=−∂β∂lnZ=−∂β∂ln(V(2πℏ2βm)3/2)=−∂β∂ln(V2/3(2πℏ2βm))3/2=23[−∂β∂ln(V2/32πℏ2βm)]=2β3=23kBT 值得注意的是，求偏导数和对数化的操作都放在了迹的外面，最后用一个配分函数进行代换即可。（待解决问题3: 有时间把PPT另外那道例题也做一下）
2. 计算系综平均值
【例子1】设 N N N个自由玻色子体系的哈密顿算符为 H ^ = ε b ^ † b ^ \hat H=\varepsilon\hat b^\dagger \hat b H^=εb^†b^，证明其粒子数的平均值为 < n ^ > = < b ^ † b ^ > = 1 e β ( ε − μ ) − 1 。 <\hat n>=<\hat b^\dagger \hat b>=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1} 。 <n^>=<b^†b^>=eβ(ε−μ)−11。
证明如下：
【例子2】设N个自由费米子体系的哈密顿算符为 H ^ = ε a ^ † a ^ ， \hat H=\varepsilon\hat a^\dagger \hat a ， H^=εa^†a^，证明其粒子数的平均值为 < n ^ > = < a ^ † a ^ > = 1 e β ( ε − μ ) + 1 。 <\hat n>=<\hat a^\dagger \hat a>=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1} 。 <n^>=<a^†a^>=eβ(ε−μ)+11。（已解决问题4:为什么玻色子体系用 b † ， b^\dagger ， b†，费米子体系用 a † ， a^\dagger ， a†，而且结果还不一样？ 这个符号无所谓，结果的不同是因为在计算配分函数求和时，一个满足泡利不相容原理，另一个不满足，因此结果不一样）
证明如下：
3. 简并性近理想玻色气体
首先我们要知道产生和消灭算符，可以参考《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）（待解决问题4: 二次量子化的细节）。
（1）概念
近理想气体指密度很低，气体很稀薄，相互作用很弱的粒子系统，密度低，可以用微扰理论来处理。二次量子化是对量子力学的一种新的数学表述。普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。
（2）N个自旋为零的玻色粒子系统
注意，此处讨论只涉及低温范围，量子效应很明显的情况。粒子间存在相互作用，哈密顿量为（此处的 1 2 \frac{1}{2} 21是为了去重） H ^ = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 u ^ ( ∣ r i − r j ∣ ) = H ^ 0 + H ^ i 。 \hat H=\sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}\hat u(|r_i-r_j|)=\hat H_0+\hat H_i。 H^=i=1∑N2mpi2+21u^(∣ri−rj∣)=H^0+H^i。采用二次量子化的动量表象，上式写为 H ^ 0 = ∑ p p 2 2 m a ^ p † a ^ p ， H ^ i = 1 2 ∑ p 1 ′ , p 2 ′ , p 1 , p 2 < p 1 ′ , p 2 ′ ∣ u ^ ∣ p 1 , p 2 > a ^ p 1 ′ † a ^ p 2 ′ † a ^ p 1 a ^ p 2 \hat H_0=\sum_p \frac{p^2}{2m}\hat a_p^\dagger \hat a_p ， \hat H_i=\frac{1}{2}\sum_{p_1',p_2',p_1,p_2}
进而可以将系统的哈密顿量近似地写为 H ^ = H ^ 0 + H ^ i = ∑ p p 2 2 m a ^ p † a ^ p + u 0 2 V ∑ p 1 ′ , p 2 ′ , p 1 , p 2 a ^ p 1 ′ † a ^ p 2 ′ † a ^ p 1 a ^ p 2 。 \hat H=\hat H_0+\hat H_i=\sum_p \frac{p^2}{2m}\hat a_p^\dagger \hat a_p+\frac{u_0}{2V}\sum_{p_1',p_2',p_1,p_2}\hat a_{p_1 '}^\dagger \hat a_{p_2 '}^\dagger \hat a_{p_1 }\hat a_{p_2 } 。 H^=H^0+H^i=p∑2mp2a^p†a^p+2Vu0p1′,p2′,p1,p2∑a^p1′†a^p2′†a^p1a^p2。此外，在精确至二级小量的情况下，哈密顿量可近似表示为 H ^ = ∑ p p 2 2 m a ^ p † a ^ p + N 2 u 0 2 V + N u 0 2 V ∑ p ≠ 0 ( a ^ p † a ^ − p † + a ^ p a ^ − p + 2 a ^ p † a ^ p ) \hat H=\sum_p \frac{p^2}{2m}\hat a_p^\dagger \hat a_p+\frac{N^2u_0}{2V}+\frac{Nu_0}{2V}\sum_{p\neq0}(\hat a_p^\dagger \hat a_{-p}^\dagger+\hat a_p \hat a_{-p}+2\hat a_p^\dagger \hat a_{p}) H^=p∑2mp2a^p†a^p+2VN2u0+2VNu0p=0∑(a^p†a^−p†+a^pa^−p+2a^p†a^p)为了使上式称为对角型的哈密顿量，现引入波戈留波夫变换，定义两个新的玻色算符，他们是 b ^ p † = u p a ^ p † − v p a ^ − p , b ^ p = u p a ^ p − v p a ^ − p † ， \hat b_p^\dagger=u_p \hat a_p^\dagger-v_p\hat a_{-p},\hat b_p=u_p \hat a_p-v_p\hat a_{-p}^\dagger ， b^p†=upa^p†−vpa^−p,b^p=upa^p−vpa^−p†，其逆变换为 a ^ p † = u p b ^ p † + v p b ^ − p ， a ^ p = u p b ^ p + v p b ^ − p † ， \hat a_p^\dagger=u_p \hat b_p^\dagger+v_p \hat b_{-p}，\hat a_p=u_p\hat b_p+v_p \hat b_{-p}^\dagger ， a^p†=upb^p†+vpb^−p，a^p=upb^p+vpb^−p†，证明如下：
最终可将哈密顿量写为 H ^ = E 0 + ∑ p ≠ 0 ε ( p ) b ^ p † b ^ p = E 0 + ∑ p ≠ 0 ε ( p ) n ^ p 。 \hat H=E_0+\sum_{p \neq0}\varepsilon(p)\hat b_p^\dagger\hat b_p=E_0+\sum_{p\neq0}\varepsilon(p)\hat n_p 。 H^=E0+p=0∑ε(p)b^p†b^p=E0+p=0∑ε(p)n^p。其中 E 0 = 1 2 N m u 2 + 1 2 ∑ p ≠ 0 ε ( p ) − p 2 2 m − m u 2 + m 3 u 4 p 2 ， ε ( p ) = [ u 2 p 2 + ( p 2 2 m ) 2 ] 1 / 2 E_0=\frac{1}{2}Nmu^2+\frac{1}{2}\sum_{p\neq0}{\varepsilon(p)-\frac{p^2}{2m}-mu^2+\frac{m^3u^4}{p^2}}，\varepsilon(p)=[u^2p^2+(\frac{p^2}{2m})^2]^{1/2} E0=21Nmu2+21p=0∑ε(p)−2mp2−mu2+p2m3u4，ε(p)=[u2p2+(2mp2)2]1/2
小结
结束了这一部分的学习后，至少要做到：
（1）会计算密度算符，以“一个自由粒子处于边长 L L L 的立方形容器中“为例，计算它的密度算符和哈密顿量的系综平均值；
（2）会计算系综平均值，上面的【例子1】和【例子2】；
（3）知道什么是近理想气体、二次量子化；
（4）知道二次量子化的动量表象下哈密顿量的写法；
（5）能够写出并证明波戈留波夫变换及其逆变换。
未完待更…
下一篇文章《高等统计物理学》5：非平衡态统计物理初步
参考资料
【1】 老师的授课PPT
【2】 《量子统计物理》（杨展如）