随机过程基础(8)---随机过程的线性变换

变换的基本概念和基本定理

基本概念

给定函数x(t)，按照某种法则T，指定新的函数y(t)，那么记成
$$y(t)=T[x(t)]$$
类似地，给定随机过程X(t)，按照法则T，得到
$$Y(t)=T[X(t)]$$
每个时刻都进行变换，上式整体表示一簇变换。用信号与系统的观点，

变换有随机性变换和确定性变换两种。对于某个实验结果e_i，对应一个特定的时间函数x(t,e_i)，用这个信号作为系统的输入，得到一个特定的输出函数y(t,e_i)，是Y(t)对应e_i的一个样本。上述所谓的随机性是输入随机，而不是变换随机，这叫确定性变换。变换如果也是随机的，叫随机性变换，这里不考虑。
复习一点线性系统：
齐次性、可加性

举当初比较迷的例子：

类似于线性系统，这里引入线性变换的定义：
$$L[A_1{X}_1(t)+A_2{X}_2(t)]=A_{1}L[X_1(t)]+A_{2}L[X_2(t)]$$
则称L是线性变换。而若
$$Y(t+ϵ)=L[X(t+ϵ)]$$
则称L是线性时不变的。

基本定理

1

输出的数学期望等于输入的数学期望线性变换的结果。另一种理解，L和E两个算子可以互相交换顺序。
$$E[Y(t)]=L\{E[X(t)]\}$$
严格证明用概率论中的大数定理，这里不写了。就是样本函数取到无穷多时，$\overline{Y(t)}=L\{\overline{X(t)}\}$，而无穷的样本均值根据大数定理就是期望。

2

$$R_{XY}(t_1,t_2)=L_{t_2}[R_X(t_1,t_2)]$$
$$R_Y(t_1,t_2)=L_{t_1}[R_{XY}(t_1,t_2)]=L_{t_1}\cdot L_{t_2}[R_X(t_1,t_2)]$$
L_t1表示对t₁做L变换，L_t2同理。这个没上个好理解。
因为$$X(t_1)Y(t)=X(t_1)L[X(t)]=L[X(t_1)X(t)]$$就是不先直接把互相关的两个时间参数都换成随机的，先定一个t₁，由于函数固定，又是线性系统，就可以直接将L算子放到外面。然后像下面一样引入期望、进行计算。
$$E[X(t_1)Y(t)]=E\{L[X(t_1)X(t)]\}=L\{E[X(t_1)X(t)]\}$$
这时候令t=t_2，就有$$R_{XY}(t_1,t_2)=L_{t_2}[R_X(t_1,t_2)]$$
同理，有
$$R_Y(t_1,t_2)=L_{t_1}[R_{XY}(t_1,t_2)]$$上面一坨用到的本质就是分解成两步，先从两个中抽出来一个假想成已知的，得出结论；然后再这两步是一样的，把得到的结论再用在那个未知 的上，这么重复一遍就两个同时未知的时候也可以表示了。粗暴理解成求输出和输入的互相关时变得还不彻底，还留着前面t₁的一份，所以结果一半是变换后的Y，一半还是原来的X， 就叫输入和输出的关系。而如果用同样的方法，已经拿到了R_XY，再利用$$E[Y(t^{\prime })Y(t)]=L\{E\{L[X(t^{\prime })X(t)\}\}$$$$=L\{L\{E[X(t^{\prime })X(t)]\}\}=L_{t_1}[R_{XY}(t^{\prime },t)]$$这样变完就是Y的自协方差。
$L_{t_1}\cdot L_{t_2}$表示复合算子。那根据归纳法，输出的k阶矩可以用输入的相应阶矩确定。假定系统是线性时不变的，那线性变换维持原随机过程严平稳或广义平稳的特性。

上面那个例子已经得出简单的积分系统是线性的。这里看一看导数的情况，只不过把确定的输入函数换作随机过程计算。
例如，某一随机过程经过求导系统$L=\frac{d}{dt}$$$\dot{X}(t)=\frac{dX(t)}{dt}$$满足线性性质。
用定理1交换算子$$E[\dot{X}(t)]=E\{[X(t)]\}=L\{E[X(t)]\}$$
$$m_{\dot{X}}(t)=\frac{d{m}_X(t)}{dt}$$
根据定理2，得到XY（这里就是X和$\dot{X}$了）互相关函数
$$R_{X\dot{X}}(t_1,t_2)=L_{t_2}[R_X(t_1,t_2)]=\frac{\partial R_X(t_1,t_2)}{\partial t_2}$$
自相关函数$$R_{\dot{X}}(t_1,t_2)=L_{t_1}[R_{X\dot{X}}(t_1,t_2)]=\frac{\partial R_{X\dot{X}}(t_1,t_2)}{\partial t_1}=\frac{{\partial }^2{R}_X(t_1,t_2)}{\partial t_1\partial t_2}$$
如果X(t)是平稳的，
$$m_{\dot{X}}(t)=0$$$$R_{X\dot{X}}(\tau )=-\frac{d{R}_X(\tau )}{d\tau }$$$$R_{\dot{X}}(\tau )=\frac{d{R}_{X\dot{X}}(\tau )}{d\tau }=-\frac{d^2{R}_X(\tau )}{d{\tau }^2}$$互功率谱$$G_{X\dot{X}}(\omega )=-j\omega G_X(\omega )$$功率谱$$G_{\dot{X}}(\omega )=j\omega G_{X\dot{X}}(\omega )={\omega }^2{G}_X(\omega )$$其中$R_{X\dot{X}}(\tau )$是奇函数。$R_{X\dot{X}}(0)=0$。平稳随机过程X(t)和它的导数$\dot{X}(t)$在同一时刻是正交的、不相关的，如果X(t)是正态分布，它们就也是独立的。

随机过程通过线性系统分析

冲激响应法

完全与《信号与系统》第二章的内容类似。把输入信号的函数表示改成大写表示它有随机性就完了。加深理解，复习为什么与系统冲激响应进行卷积就可以表示输出信号了：（先后利用LTI系统时不变、齐次、线性性好理解，最后一步类似从周期傅里叶级数推出傅里叶变换，又时间间隔的连续变化，将离散和写成连续积分的形式(常 用 技 巧)。）

再进一步，（上步相当于卷积的原理，这步相当于在上面每一步根据系统相应寒素再重复利用一遍LTI系统性质）将冲激函数改成系统冲激响应函数，就能求输出了。推导的方法和上面的一样（当时的重点）。

便于快速计算，从网络摘取一些算好的公式，包括卷积和的情况：


回忆信号通过线性系统的零状态相应，有两种求解方法。传统的就是直接求卷积；高级一点就是先把输入看成冲激信号经过某个系统的响应，然后计算时把卷积转化成乘法，最后再变回来，简单了一点。对于随机过程，输入不知道是什么东西，后面的有点困难，就用前一个写一写。
$$Y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }X(t-\tau )h(\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }X(\tau )h(t-\tau )d\tau =h(t)\ast X(t)$$
输入不是确定的，但根据某一时刻的输入求出来输出均值还是星的。
$$m_Y(t)=L[m_X(t)]=h(t)\ast m_X(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{m}_X(t-\tau )h(\tau )d\tau$$
再者，如果X(t)是平稳的，
$$m_Y={\int }_{-\infty }^{\infty }{m}_{X}h(\tau )d\tau =m_X{\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )d\tau =m_{X}H(0)$$
H(0)是系统传递函数在$\omega =0$处的值。
输入和输出的互相关函数$$R_{XY}(t_1,t_2)=L_{t_2}[R_X(t_1,t_2)]=h(t_2)\ast R_X(t_1,t_{)}={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(t_1,t_2-u)h(u)h(u)du$$
输出的自相关函数
$$R_Y(t_1,t_2)=L_{t_1}[R_{XY}(t_1,t_2)]=h(t_2)\ast R_{XY}(t_1,t_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(t_1-u,t_2)h(u)du$$十分容易混淆卷积过程中到底谁减了u。还需注意，这里写成了u不是τ了，因为平稳过程中那个时间差用了τ，再用就容易混了。
综合上面的自相关函数和互相关函数，
$$R_Y(t_1,t_2)=h(t_1)\ast R_{XY}(t_1,t_2)=h(t_1)\ast h(t_2)\ast R_X(t_1,t_2)$$
同理，有
$$R_{YX}(t_1,t_2)=h(t_1)\ast R_X(t_1,t_2)$$
$$R_Y(t_1,t_2)=h(t_2)\ast R_{YX}(t_1,t_2)$$
如果X(t)是平稳随机过程 ，
$$R_{XY}(t_1,t_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(t_1,t_2-u)h(u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_X(t_1-t_2+u)h(u)du={\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_X(\tau +u)h(u)du$$
那就是$$R_{XY}(\tau )=h(-\tau )\ast R_X(\tau )$$
同理$$R_Y(t_1,t_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(t_1-u,t_2)h(u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(t_1-t_2-u)h(u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(\tau -u)h(u)du$$也就是
$$R_Y(\tau )=h(\tau )\ast R_{XY}(\tau )$$
$$R_Y(\tau )=h(-\tau )\ast h(\tau )\ast R_X(\tau )$$
$$R_{YX}(\tau )=h(\tau )\ast R_X(\tau )$$$$R_Y(\tau )=h(-\tau )\ast R_{YX}(\tau )$$以上诸式看似写了一坨，实际上都是基于线性变换那个第二个定理做了一步推广得到的。所以关键在记住最初的那一坨性质。刚才推的记忆会比较迷，但只要抓住卷一个是不彻底的，两个中有个变化前的，是互协方差；而卷两个就全是变完的了，那就感觉还行。至于平稳随机过程，就还是把t₁ t₂换成了τ来写，需要看看系统传递函数中的t经过推导也成了τ，整挺好的。这波的关键就是利用平稳随机过程只与时间差有关的性质，把位于t₁ t₂的时间中的t₂拉回了原点。就是那个$R_Y(t_1,t_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(t_1-u,t_2)h(u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(t_1-t_2-u)h(u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{R}_{XY}(\tau -u)h(u)du$。

例如

上图基本RC电路输入为零均值平稳随机过程，相关函数
$$R_X(\tau )=e^{-\beta |\tau |}$$求稳态输出Y(t)的自相关函数。
根据电基知识，冲激响应
$$h(t)=\frac{1}{RC}{e}^{-\alpha t}U(t)$$
输入与输出的自相关函数
$$R_{XY}(\tau )=h(-\tau )\ast R_X(\tau )={\int }_0^{+\infty }{R}_X(\tau +u)h(u)du={\int }_0^{+\infty }{e}^{-\beta |\tau +u|}\alpha e^{-\alpha u}du$$
当然，这里$\alpha =\frac{1}{RC}$。看出来做题不需要上面一坨那么复杂，直接用就完了。当然，把这个积分号去掉也需要一定技巧。通过对τ大于、小于、等于0进行讨论，使用高数的知识化简就完了。

应用随机过程到声音信号(3)

判断是否存在固定音高

如果音高值几乎是恒定的，那么音高信息就能够找到。对于清音的片段，可以发现获得的音高因素很小，并且变化很大。那么可以说轻音片段的音高信息是缺失的。如果能找到重复的音高，这个片段就是浊音。
这个用python验证算了：

# Chroma Frequencies
# Loading the file
x, sr = librosa.load('D:\狗血.wav')
hop_length = 512
chromagram = librosa.feature.chroma_stft(x, sr=sr, hop_length=hop_length)
plt.figure(figsize=(15, 5))
librosa.display.specshow(chromagram, x_axis='time', y_axis='chroma', hop_length=hop_length, cmap='coolwarm')

可以看出，在两端没唱歌的地方（近似成白噪声），和发清音的地方（中间有两处），红的(表示按照频率倍数关系归一化的音符)分布很乱；而在唱的部分，它可以根据声音信号找到固定频率，是比较整齐的。这个程序的结果与上面不完全是一个意思，基本能说明问题。

附： WAV格式编码基础

刚才验证的时候反复出现文件读取失败、不能调到想要的形式的问题，例如没有跳过前面的音频格式信息，导致把那些二进制文件当成了声音文件读进去了；没意识到导入的信号是双声道，而WAV文件是并行设置的，由于两个声道的相位不一定就相等，顺序读取得到的声音信号得不出上述任何结论。
网络上的这个表格很能说明问题：



所以，用fopen fread读取二进制文件应该跳过前44个字节才行。