解线性方程组之LU分解算法实现

一：实验目的：
1. 掌握LU分解算法原理；
2. 使用C语言编程实现LU分解算法。
二：实验要求
用LU分解算法求解给定的线性方程组 。
函数接口定义：
bool Direct( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[] )。
在Direct的接口定义中，n为矩阵a的维数，MAX_SIZE是由裁判程序定义的矩阵最大维数，b是方程组中的常向量，求得的解将存储在b中返回。本题目要求先用杜利特尔分解，再求解两个三角型方程组。函数返回布尔型值，当求解成功时返回TRUE，否则返回FALSE。
实验代码：

#include
#include
#include

#define MAX_SIZE 100 /* 矩阵最大维数 */
#define ZERO 0.000000001 /* 当一个正数小于ZERO就认为该数是0 */

int Direct( int n, double a[][MAX_SIZE], double b[] )
{
   double L[MAX_SIZE][MAX_SIZE],U[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
   double y[MAX_SIZE];
   int i,j,k;
   double t;
   for(i=0;i=0;i--)
   {
       t=0;
       for(j=i+1;j

实验结果：

心得体会：

主要是通过等式两边对于元素相等，来将矩阵A分解为一个单位下三角矩阵L和上三角矩阵U。例如

1:通过比较等式两边第一行和第一列可以分别得出：

 

U(1,j)=a(1,j)(j=1…n)

L(i,1)=a(i,1)/U(1,1)(i=2,..,n)

 

2:通过比较等式两边第二行和第二列可以得出

 

U(2,j)=a(i,2)-l(2,1)*U(1,j) j=2,..,n

L(i,2)=(a(i,2)-l(i,1)*U(1,2))/U(2,2) i=3,…,n

 

因此类推可以得出：

 

（j=k…,n）

(i=k+1,…,n)

依次到第n步即可求出矩阵L和矩阵U中的所有元素。

在求得LU后,原方程组AX=b即可变为LUX=b的形式。在令UX=Y。

所有原式可以变成：LY=b,和UX=Y。两个线性方程组。又因为LU分别为下三角矩阵和上三角矩阵，因此可以通过直接d代入法求出Y，然后通过回代法求出X。

  2：LU分解其实本质是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。因此若矩阵A可以进行LU分解则应该满足A的顺序主子式不等于零。