主对角占优矩阵的结论与应用

什么是主对角占优矩阵

数域$K$上的$n$级矩阵$A$ $$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& ...& a_{nn}\end{array}\right)$$若满足$$|a_{ii}|>\sum _{j=1,j̸=i}^n|a_{ij}|$$ $$i=1,2,...,n$$
则称$A$为主对角占优矩阵

一个结论

若$A$为主对角占优，则$$A的列向量组线性无关\Rightarrow |A|̸=0$$

\

证明

• 设$A=({\alpha }_1,...,{\alpha }_n)$
• 反证，假设${\alpha }_1,...,{\alpha }_n线性相关$
• 则存在一组不全为0的数$k_1,...,k_n$使得$$k_1{\alpha }_1+...+k_n{\alpha }_n=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
• 不妨设$k_l=max\{k_1,...,k_n\}，则在（1）式中考虑第l个分量：$ $$k_1{a}_{l1}+...+k_l{a}_{ll}+...+k_n{a}_{ln}=0$$ $\Rightarrow$ $$a_{ll}=-\frac{1}{k_l}(k_1{a}_{l1}+...+k_n{a}_{ln})$$
• 则$$|a_{ll}|=|\sum _{j=1,j̸=l}^n\frac{k_j}{k_l}{a}_{lj}|$$ $$\le \sum _{j=1,j̸=l}^n\left|\frac{k_j}{k_l}{a}_{lj}\right|$$ $$\le \sum _{j=1,j̸=l}^n|a_{lj}|$$与定义$|a_{ii}>\sum a_{ij}|$矛盾$\Rightarrow$列向量组线性无关

应用1（这道题操作手法非常saoqi）

$P_{136}例1$
数域$K$上的$n$级矩阵$A$若满足$$a_{ii}>\sum _{j=1,j̸=i}^n|a_{ij}|$$ $$i=1,2,...,n$$
则$$|A|>0$$

证明

• 构造$$B(t)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}t& a_{13}t& ...& a_{1n}t\\ a_{21}t& a_{22}& a_{23}t& ...& a_{2n}t\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}t& a_{n2}t& a_{n3}t& ...& a_{nn}\end{array}\right)$$ $$t\in [0,1]$$
• $B(t)$是$t$的多项式，So，$B(t)$连续
• 当$t\in (0,1]$时，有$$a_{ii}>\sum _{j=1,j̸=i}^n|a_{ij}|\cdot 1>\sum _{j=1,j̸=i}^n|a_{ij}|\cdot t>\sum _{j=1,j̸=i}^n|t{a}_{ij}|$$ $$\Rightarrow |B(t)|̸=0$$
• 而$|B(0)|=a_{11}...a_{nn}>0$
• 所以由$B(t)的连续性，得t\in [0,1]时，|B(t)|>0$ $$\Rightarrow |B(1)|=|A|>0$$

就问你！骚不骚！上次也有一道这种和多项式函数挂钩的题目，上次用到的是极限，二者的共同点是：都是由普通（关于t的函数）求特殊
（分块矩阵求行列式的一道题）

应用2

数域$K$上的$n$级矩阵$A$若满足

• $a_{ii}>0,i=1,...,n$
• $a_{ij}<0,i̸=j$
• $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=0,i=1,...,n$
  那么有$$rank(A)=n-1$$

证明

• 首先，很容易就知道$rank(A)\le n-1$,因为$$A(1,1,...,1{)}^{\prime }=0$$ $$\Rightarrow dimW=n-rank(A)\ge 1$$
• 只要再证明$rank(A)\ge n-1$就好了
• 想到证明$A$的一个$n-1$阶子式$̸=0$，取$A$前的前$n-1$行和$n-1$列子矩阵记为$A_1$，则$$a_{ii}>\sum _{j=1,j̸=i}^{n-1}|a_{ij}|$$
• 由应用1知$$|A_1|>0\Rightarrow rank(A)\ge n-1$$