线性代数中的克莱姆法则与几何解释

线性代数中的克莱姆法则与几何解释

克莱姆法则研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;
与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值-百度百科-克莱姆法则

• Cramer’s Rule（克莱姆法则）是线性代数理论中的基础定理之一
• 克莱姆法则适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组
• 理解克莱姆法则，可以帮助我们加深对线性方程组的理解

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记号说明与克莱姆法则的定义

本文中记号说明：
- A： n行n列矩阵；
- x x ：未知n维列向量；
- b b ：已知n维列向量
- I I ：n维单位矩阵
- A(i)←b A ( i ) ← b 表示矩阵A第 i 列被列向量 b 替换掉的矩阵

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克莱姆法则：
A x x = b b 齐次线性方程组
A 非奇异 ( |A|≠0 | A | ≠ 0 )
有 xi=|A(i)←b||A| x i = | A ( i ) ← b | | A | ，其中 A(i) 表示矩阵 A 的第i列（行列式 |A| 的定义可见线性代数或百度百科：行列式）

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从分块矩阵角度来看克莱姆法则

考虑 I(i)←x I ( i ) ← x ，利用分块矩阵乘法，有

A[I(i)←x]=A(i)←b. A [ I ( i ) ← x ] = A ( i ) ← b .

等式两边同时取行列式，得

|A||I(i)←x|=|A(i)←b|. | A | | I ( i ) ← x | = | A ( i ) ← b | .

而 |I(i)←x|=xi | I ( i ) ← x | = x i (以第 i i 行展开即可), 因此 当 A 非奇异时， xi=|A(i)←b||A|. x i = | A ( i ) ← b | | A | . .

从向量代数角度来看克莱姆法则

当n=2时， 有A x x = b b ，具体形式是二元线性方程组：

{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2

其中 |A|≠0 | A | ≠ 0 ，即 a11a22−a12a21≠0 a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 . 将其写成向量的形式，

x1a1+x2a2=b(1) (1) x 1 a 1 + x 2 a 2 = b

其中， a1,a2 a 1 , a 2 为矩阵的两列。

设 v=(a22−a12) v = ( a 22 − a 12 ) ， 则 a2⋅v=0 a 2 ⋅ v = 0 。
在 (1) 式两端同时取关于向量 v v 的数量积，得

x1a1⋅v=b⋅v, x 1 a 1 ⋅ v = b ⋅ v ,

即有，

x1=b⋅va1⋅v=∣∣∣b1b2a12a22∣∣∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣=|A(1)←b||A|. x 1 = b ⋅ v a 1 ⋅ v = | b 1 a 12 b 2 a 22 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | = | A ( 1 ) ← b | | A | .

类似的，通过消去 (1) 中含有 x2 x 2 的项可以解 x1 x 1 。

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当情况转换到3维时，可以考虑向量方程：

x1a1+x2a2+x3a3=b(2) (2) x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 = b

类似的，取 a1,a2,a3 a 1 , a 2 , a 3 列向量为矩阵 A 的三列， |A|≠0 | A | ≠ 0 。
即向量 a1,a2,a3 a 1 , a 2 , a 3 不共面， 否则计算可知 A 为奇异矩阵。

在 (2) 式两端同时取关于向量 a2×a3 a 2 × a 3 的数量积, （由右手法则可知， a2和a3⊥a2×a3 a 2 和 a 3 ⊥ a 2 × a 3 ）

x1a1⋅(a2×a3)=b⋅(a2×a3), x 1 a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) = b ⋅ ( a 2 × a 3 ) ,

计算可知，

x1=b⋅(a2×a3)a1⋅(a2×a3)=∣∣∣∣b1b2b3a12a22a32a12a23a33∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12a13a12a22a32a12a23a33∣∣∣∣=|A(1)←b||A|. x 1 = b ⋅ ( a 2 × a 3 ) a 1 ⋅ ( a 2 × a 3 ) = | b 1 a 12 a 12 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 | | a 11 a 12 a 12 a 12 a 22 a 23 a 13 a 32 a 33 | = | A ( 1 ) ← b | | A | .

即得3元齐次线性方程组的Cramer法则。

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最后讨论 n维的情形，考虑向量方程：

x1a1+x2a2+⋯+xnan=b(3) (3) x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n = b

读者可以先思考一下，类似的方法应如何推广到n维。

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（主要思想 在于构造正交向量对方程进行分离操作，再得出行列式的比）
取 a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n , n 个列向量为矩阵 A 的 n 列， |A|≠0 | A | ≠ 0 。

仿照行列式的记号，构造一个正交于 a2,a3,⋯,an a 2 , a 3 , ⋯ , a n 的向量 v v ，
（注意，只是模仿，不要把第一行的向量拆开成具体形式）

v=∣∣∣∣∣∣e1a21⋮a1ne2a22⋮a2n⋯⋯⋯ena2n⋮ann∣∣∣∣∣∣， v = | e 1 e 2 ⋯ e n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n | ，

（实际上这是常数项乘以向量的组合，将这个行列式形式以第一行展开即可得到）
其中， ei e i 是在第 i 个位置为1，其余分量为零的单位向量。

容易验证，对任意向量 c c ， 都有

(v,c)=v⋅c=∣∣∣∣∣∣c1a21⋮a1nc2a22⋮a2n⋯⋯⋯cna2n⋮ann∣∣∣∣∣∣， ( v , c ) = v ⋅ c = | c 1 c 2 ⋯ c n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n | ，

故通过行列式可以看出，对任意的 ai a i ， v⋅ai=0,i=2,3⋯,n v ⋅ a i = 0 , i = 2 , 3 ⋯ , n 。
不难推出，

x1a1⋅v=b⋅v， x 1 a 1 ⋅ v = b ⋅ v ，

x1=b⋅va1⋅v=|A(1)←b||A|. x 1 = b ⋅ v a 1 ⋅ v = | A ( 1 ) ← b | | A | .

即得 n 元线性方程组的克莱姆法则。

克莱姆法则的局限性

（1）当方程组方程个数与未知数的个数不一致或者方程组系数的行列式等于零时，需要使用其他方法
（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式
（3）对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为 O(n⋅n!) O ( n ⋅ n ! ) 。另外，即使对于2×2系统，克莱姆法则在数值上也是不稳定的
-百度百科-克莱姆法则

注记

• 根据行列式的几何意义，二维表示面积，三维表示体积，不难推出克莱姆法则的几何意义，大概思路是将向量关系通过图形表示出来，进行平行四边形或者棱体的面积或者体积的计算、比较得出几何意义，不再赘述。

• 应用克莱姆法则可知，当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

• 如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零

• 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

参考文献

【1】邱森、朱林生. 高等代数探究性课题精编[M]. 武汉:武汉大学出版社, 2012. 17-21