大学物理电磁学——毕奥·萨伐尔定律

毕奥·萨伐尔定律

公式汇总：

一般公式：
$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\times r}{r^3}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\alpha }{r^2}$
$B=\int dB=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\times r}{r^3}$
载流直导线的磁场：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(cos{\alpha }_1-cos{\alpha }_2)$
无限长载流直导线：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$
载流圆线圈轴上的磁场：$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}$
圆心处：$x=0,B_0=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$
通电螺线管：$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\frac{x_2}{\surd x_2^2+R^2}-\frac{x_1}{\surd x_1^2+R^2})$
对于无限长的螺线管：$B={\mu }_{0}nI$

1. 磁现象

1. 一切磁现象都源于电荷的运动。
2. 一切磁力本质上都是电荷之间的作用力。

一切磁现象都源于电荷运动，磁相互作用的本质就是运动电荷（电流）之间的运动。

激发

作用于

运动电荷 载流导线 磁体

磁场

运动电荷 载流导线 磁体

稳恒磁场：由稳恒电流激发的磁场。

2. 毕奥·萨伐尔定律

2.1 电流元

定义：$Idl$为电流元。大小为$Idl$，$dl$的方向由线元所在处电流的流向来确定。
目的：用积分法来求出任意形状的磁场分布。

2.2 电流元的磁场

大小：$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\times r}{r^3}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\alpha }{r^2}$
真空磁导率：${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N\cdot A^{-2}$

运用积分：

$B=\int dB=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\times r}{r^3}$

• 说明：毕奥·萨伐尔定律只适用于恒定电流。
• 解题步骤：
  1. 建立坐标系。
  2. 分割电流元。
  3. 确定电流元的磁场。
  4. 坐标分解求$dB$的分量$d{B}_x$,$d{B}_y$,$d{B}_z$，然后统一积分变量求出$d{B}_x$,$d{B}_y$,$d{B}_z$。
  5. 由$B=d{B}_{x}i+d{B}_{y}j+d{B}_{z}k$，求总场。

毕奥·萨伐尔定律运用实例

1. 载流直导线的磁场
   $B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(cos{\alpha }_1-cos{\alpha }_2)$
   其中，a是点到导线的垂直距离。
   ${\alpha }_1$是电流入端点与该点与待求点连线之间的夹角。

• 一般情况：$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(cos{\alpha }_1-cos{\alpha }_2)$
• 无限长载流直导线：${\alpha }_1=0，{\alpha }_2=\pi ，B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$
• 半无限长载流直导线：(点与其入端平齐)${\alpha }_1=\frac{\pi }{2}，{\alpha }_2=\pi ，B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}$
• 半无限长载流直导线：${\alpha }_1=\beta ，{\alpha }_2=\pi ，B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(cos\beta +1)$
• 载流导线延长线上任意一点的磁场：$B=0$

2. 载流圆线圈轴上的磁场

$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}$
这里的x是待求点到圆线圈圆心处的距离。

圆心处：$x=0,B_0=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$
如果是圆弧形的电流：$B_0=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\frac{\theta }{2\pi }$

3. 载流密绕直螺线管轴上的磁场

我当时上课的时候感觉很疑惑，这里的n匝线圈明明是串联的，为什么$dI=ndxI$呢？
其实不需要管这里的电流是串联还是并联，因为我们在这里是要考虑电流产生的磁感性强度，所以n匝电流产生的是n倍，或者我们可以从上面讲的载流圆线圈的圆弧形式理解，$B_0=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\frac{\theta }{2\pi }$，绕两圈就是$\theta =2\pi$，以此类推。
回到上面的微元形式进行积分。
这里把P点看作是坐标原点，对dx进行积分得：$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\frac{x_2}{\surd x_2^2+R^2}-\frac{x_1}{\surd x_1^2+R^2})$
对于无限长的螺线管，$B={\mu }_{0}nI$

4. 运动电荷产生的磁场
   运用公式：
   $B=\int dB=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\times r}{r^3}$
   常见情况：
   1. 离散运动电荷已知速度，则对一个圆周进行积分，$I=\frac{q}{T}$，这里的T是电荷绕一圈的周期。
      例如：
      
      $-e$的原因是，I 的方向与负电荷运动方向相反。
   2. 带电圆环已知每秒绕N转，与之前类似，T=1/N。

3. 磁距

平面载流线圈的磁距：
$p_m=IS$
$S$的方向就是法向量的方向。
载流线圈轴线上距圆心很远的场可表示为：
$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2x^3}=\frac{{\mu }_{0}I\pi R^2}{2\pi x^3}=\frac{{\mu }_{0}IS}{2\pi x^3}=\frac{{\mu }_0{p}_m}{2\pi x^3}$
考虑方向：
$B=\frac{{\mu }_0{p}_m}{2\pi x^3}$

当圆电流的半径很小或者讨论远离圆电流处的磁场分布时，把圆电流称作磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。