Crout分解法
前面介绍了Cholesky分解法，但是Cholesky分解法只是用于对称正定矩阵，对于不是对称矩阵、或不是正定矩阵时，要计算线性方程组时，在矩阵阶数不是很大时可以采用Cramer法则，也可以采用高斯消元法来求解！顺便介绍一下高斯消元法，对于一个n阶矩阵，用高斯消元法不计加减运算，只记乘除运算，要运算n的立方/3+n的平方-n/3次，计算量比较大，而且精度较差。所以后来有了改进的高斯消元法——高斯主元素消去法，即先找出主元，然后利用高斯消元法来计算，也是实际计算中常用的一直方法。
但是，如果先将矩阵进行分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的程序，然后计算线性方程组的工作量将会大大减少，这就引出了矩阵的LU分解。Crout分解就是其中一种常用的方法，其思路比较适合计算机程序设计。
Crout分解法
Crout分解法可用于非对称、非正定的矩阵。当然，如果矩阵是对称正定矩阵，Crout分解法当然也适用。
2）程序设计
程序设计主要分为计算LU矩阵、计算Y矩阵和计算X矩阵三个部分。
（1）计算LU矩阵
计算LU矩阵的程序主要根据式（5-6）和（5-7）来设计，其代码如下：
//计算LU矩阵
double[,] L = new double[arrayCount, arrayCount];
double[,] U = new double[arrayCount, arrayCount];
for (i = 0; i < arrayCount; i++)
{
U[i, i] = 1;
}
for (k = 0; k < arrayCount; k++)
{
for (i = k; i < arrayCount; i++)
{
temp = 0.0;
for (r = 0; r < k ; r++)
{
temp+=L[i,r]*U[r,k];
}
L[i, k] = A[i, k] - temp;
}
for (j = k+1; j < arrayCount; j++)
{
temp = 0.0;
for (r = 0; r < k ; r++)
{
temp += L[k, r] * U[r, j];
}
U[k, j] = (A[k, j] - temp) / L[k, k];
}
}
（2）计算Y矩阵
计算Y矩阵主要根据式（5-8），其代码如下：
//计算Y矩阵
double[] Y = new double[arrayCount];
for (i = 0; i < arrayCount; i++)
{
temp = 0.0;
for (j = 0; j < i; j++)
{
temp += L[i, j] * Y[j];
}
Y[i]=(B[i]-temp)/L[i,i];
}
（3）计算X矩阵
计算X矩阵主要根据式（5-9），其代码如下：
//计算X矩阵
double[] XX = new double[arrayCount];
for (i = arrayCount-1; i >=0 ; i--)
{
temp = 0.0;
for (j = i; j < arrayCount; j++)
{
temp += U[i, j] * XX[j];
}
XX[i] = Y[i] - temp;
}
至此，整个Crout分解法的函数如下：
private void CalFoundation2(double[,] A, out double[] X, double[] B)
{
int arrayCount = B.Length;//矩阵的行、列数
int i, j, k, r;
double temp;
//计算LU矩阵
double[,] L = new double[arrayCount, arrayCount];
double[,] U = new double[arrayCount, arrayCount];
for (i = 0; i < arrayCount; i++)
{
U[i, i] = 1;
}
for (k = 0; k < arrayCount; k++)
{
for (i = k; i < arrayCount; i++)
{
temp = 0.0;
for (r = 0; r < k ; r++)
{
temp+=L[i,r]*U[r,k];
}
L[i, k] = A[i, k] - temp;
}
for (j = k+1; j < arrayCount; j++)
{
temp = 0.0;
for (r = 0; r < k ; r++)
{
temp += L[k, r] * U[r, j];
}
U[k, j] = (A[k, j] - temp) / L[k, k];
}
}
//计算Y矩阵
double[] Y = new double[arrayCount];
for (i = 0; i < arrayCount; i++)
{
temp = 0.0;
for (j = 0; j < i; j++)
{
temp += L[i, j] * Y[j];
}
Y[i]=(B[i]-temp)/L[i,i];
}
//计算X矩阵
double[] XX = new double[arrayCount];
for (i = arrayCount-1; i >=0 ; i--)
{
temp = 0.0;
for (j = i; j < arrayCount; j++)
{
temp += U[i, j] * XX[j];
}
XX[i] = Y[i] - temp;
}
X = XX;
}