高斯列主元消元法求解线性方程组

一、高斯消去法的基本思想
    例1. 解方程组：
                  

解 方程组矩阵形式为: AX=b ,其中: 
              

第一步，消元过程：对增广矩阵进行消元

     

即得方程组

第二步, 回代过程:
             

此方法就是高斯消去法。

二、改进版算法

由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现=0的情况, 这时消去法将无法进行；即使主元素≠0，但很小时，用其作除数,会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散, 最后也使得计算解不可靠。 
    引例 求解方程组
              

用4位浮点数进行计算。
   解： 方法1 用高斯消去法求解。

             
                                  
其中
         
计算解为:

         

显然计算解 是一个很坏的结果，不能作为方程的近似解。
    方法2 交换行，避免绝对值小的主元做除数。
                

得计算解为：
         x=(-0.4900,-0.05113,0.3678)^T ≈x^*.
这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时,小主元可能产生麻烦,故应避免采用绝对值小的主元素a  。对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵 ( 或消元后的低价矩阵 ) 中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性, 这就是 全主元素消去法 , 在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是 列主元消去法 。 

本节主要介绍列主元消去法,并假定 (2.1) 的 A∈R^n×n 为非奇异的。
    1 .  列主元素消去法
设方程组 （2.1） 的增广矩阵为：

                  
 
首先在 A 的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如: 
         |a_i1,1|= max |a_i1|≠0， 1≤i≤n 
然后交换 B 的第一行与第 i₁  行，经第一次消元计算得
         (A|b)→(A⁽²⁾|b⁽²⁾ )  
 重复上述过程,设已完成第 k-1 步的选主元素,交换两行及消元计算， (A|b) 约化为:

              (2.2)

其中 A^(k)  的元素仍记为 a_ij ，b^(k)  的元素仍记为 b_i  。

第 k 步选主元素 ( 在 A^(k)  右下角方阵的第一列内选 ) ，即确定 i_k  ，使
               
交换 (A^(k) |b^(k) )  第 k 行与 i_k  列的元素，再进行消元计算,最后将原方 程组化为 (k=1，2…，n-1):

                    
回代求解

         
    2.  高斯-若当消去法
高斯消去法始终是消去对角线下方的元素,现考察高斯消去法的一种修正，即消去对角线下方和上方的元素，这种方法称为高斯-若当( Gauss—Jordan )消去法。通过选主元，消元等过程最终化为： 

                 
说明：用高斯-若当方法将 A 约化为单位矩阵,计算解就在常数位置得到,因此用不着回代求解,用高斯-若当方法解方程组其计算量要比高斯消去法大,但用高斯—若当方法求一个矩阵的逆矩阵还是比较合适的。
    定理 4 （高斯-若当法求逆矩阵）设 A 为非奇异矩阵， C=(A|I_n ) , 如果对 C 应用高斯—若当方法化为 （I_n|T） ，
则 A^-1=T 。

    例 4  用高斯-若当方法求  的逆矩阵以及 的解。

解：
         
         

c++代码实现如下：

/*
 * test.cpp
 *
 *  Created on: 2014-1-5
 *      Author: zhijian
 */

#include 
#include 

#define MAXN 100
#define ZERO 0.000000001	//定义浮点0
//#define DEBUG

//交换两个变量的值
void swap(double *a,double *b){
	double temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

//B行的每一个元素加上A行的每一个元素的值*k
void lineOper(double A[],double B[],int n,double k){
	for(int i = 0;ifabs(temp[mmaxi][j]))mmaxi = i;
		if(fabs(temp[mmaxi][j])=0;j--){
		double sum = 0;
		for(int i = j+1;i

求逆的实现：

/*
 * test.cpp
 *
 *  Created on: 2014-1-5
 *      Author: zhijian
 */

#include 
#include 

#define MAXN 100
#define ZERO 0.000000001	//定义浮点0
#define DEBUG

//交换两个变量
void swap(double *a,double *b){
	double temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

//交换两行变量
void swapLine(double A[],double B[],int n){
	for(int i = 0;ifabs(temp[mmaxi][j]))mmaxi = i;
		if(fabs(temp[mmaxi][j])=0;j--){
		for(int i = 0;i

参考链接：http://sxyd.sdut.edu.cn/zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/2.1/szfx021.htm

http://sxyd.sdut.edu.cn/zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/2.2/szfx022.htm