AtCoder ABC 140E Second Sum

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc140/tasks/abc140_e

题目大意

　　给定一个 1~N 的排列 P.

　　定义$X_{L, R}$的值为$P_L, P_{L+1}, \ldots, P_R$中第二大的数的值.

　　求$\displaystyle \sum_{L=1}^{N-1} \sum_{R=L+1}^{N} X_{L,R}$.

分析

　　这是一道求贡献的题, 也就是要算出每个数 x 作为第二大的时候对答案的贡献.

　　为了计算 x 对答案的贡献, 我们需要知道 x 左边第一大的数的位置 Lpos1,  x 左边第二大的数的位置 Lpos2,  x 右边第一大的数的位置 Rpos1 和 x 右边第二大的数的位置 Rpos2.

　　知道了这四个位置以后 x 对答案的贡献马上就能求出来了.

　　怎么求就要用到静态链表了, 详细写在代码里了.

代码如下

  1 #include 
  2 using namespace std;
  3  
  4 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
  6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
  7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
  8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
  9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 12  
 13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 15  
 16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 17  
 18 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 19 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
 20 #define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
 21 #define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // ?? x ?????? c 
 22 #define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
 23 #define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);
 24  
 25 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 26 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 27 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
 28 
 29 #define MP make_pair
 30 #define PB push_back
 31 #define ft first
 32 #define sd second
 33  
 34 template
 35 istream &operator>>(istream &in, pair &p) {
 36     in >> p.first >> p.second;
 37     return in;
 38 }
 39  
 40 template
 41 istream &operator>>(istream &in, vector &v) {
 42     for (auto &x: v)
 43         in >> x;
 44     return in;
 45 }
 46 
 47 template
 48 ostream &operator<<(ostream &out, vector &v) {
 49     Rep(i, v.size()) out << v[i] << " \n"[i == v.size()];
 50     return out;
 51 }
 52 
 53 template
 54 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair &p) {
 55     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
 56     return out;
 57 }
 58 
 59 inline int gc(){
 60     static const int BUF = 1e7;
 61     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
 62     
 63     if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
 64     return *bg++;
 65 } 
 66 
 67 inline int ri(){
 68     int x = 0, f = 1, c = gc();
 69     for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
 70     for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
 71     return x*f;
 72 }
 73 
 74 template<class T>
 75 inline string toString(T x) {
 76     ostringstream sout;
 77     sout << x;
 78     return sout.str();
 79 }
 80 
 81 inline int toInt(string s) {
 82     int v;
 83     istringstream sin(s);
 84     sin >> v;
 85     return v;
 86 }
 87 
 88 //min <= aim <= max
 89 template
 90 inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
 91     return min <= aim && aim <= max;
 92 }
 93  
 94 typedef long long LL;
 95 typedef unsigned long long uLL;
 96 typedef pair< double, double > PDD;
 97 typedef pair< int, int > PII;
 98 typedef pair< int, PII > PIPII;
 99 typedef pair< string, int > PSI;
100 typedef pair< int, PSI > PIPSI;
101 typedef set< int > SI;
102 typedef set< PII > SPII;
103 typedef vector< int > VI;
104 typedef vector< double > VD;
105 typedef vector< VI > VVI;
106 typedef vector< SI > VSI;
107 typedef vector< PII > VPII;
108 typedef map< int, int > MII;
109 typedef map< int, string > MIS;
110 typedef map< int, PII > MIPII;
111 typedef map< PII, int > MPIII;
112 typedef map< string, int > MSI;
113 typedef map< string, string > MSS;
114 typedef map< PII, string > MPIIS;
115 typedef map< PII, PII > MPIIPII;
116 typedef multimap< int, int > MMII;
117 typedef multimap< string, int > MMSI;
118 //typedef unordered_map< int, int > uMII;
119 typedef pair< LL, LL > PLL;
120 typedef vector< LL > VL;
121 typedef vector< VL > VVL;
122 typedef priority_queue< int > PQIMax;
123 typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
124 const double EPS = 1e-8;
125 const LL inf = 0x7fffffff;
126 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
127 const LL mod = 1e9 + 7;
128 const int maxN = 1e5 + 7;
129 const LL ONE = 1;
130 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
131 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
132 
133 int N;
134 int P[maxN];     // P数组为1~N的一组排列 
135 int pos[maxN];     // pos[i]为i在P数组中的位置 
136 int leftFirstMaxPos[maxN];     // leftFirstMaxPos[i]为i位置的数左边第一个比i大的数的位置,没有则为0
137 int rightFirstMaxPos[maxN]; // rightFirstMaxPos[i]为i位置的数右边第一个比i大的数的位置,没有则为N+1 
138 LL ans = 0; 
139 
140 int main(){
141     //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
142     //freopen("input.txt","r",stdin);
143     //INIT();
144     scanf("%d", &N);
145     For(i, 1, N) {
146         scanf("%d", &P[i]);
147         pos[P[i]] = i; 
148         // 后面是从1开始枚举,而1是最小的,所以1的左右最近大正好是相邻的两个数 
149         leftFirstMaxPos[i] = i - 1;
150         rightFirstMaxPos[i] = i + 1;
151     }
152     
153     // 计算每个数i为第二大的时候对答案的贡献 
154     For(i, 1, N) {
155         int Lpos1 = leftFirstMaxPos[pos[i]];     // i左边第一个比他大的数的位置 
156         int Lpos2 = leftFirstMaxPos[Lpos1];        // i左边第二个比他大的数的位置 
157         int Rpos1 = rightFirstMaxPos[pos[i]];    // i右边第一个比他大的数的位置 
158         int Rpos2 = rightFirstMaxPos[Rpos1];        // i右边第二个比他大的数的位置 
159         
160         if(Lpos1 != 0) ans += ONE * i * (Lpos1 - Lpos2) * (Rpos1 - pos[i]);
161         if(Rpos1 != N + 1) ans += ONE * i * (pos[i] - Lpos1) * (Rpos2 - Rpos1);
162         
163         // 更新 
164         /*
165             例如这个片段:
166                   1 2 3 4 5 6 7 
167                 P 6 3 1 2 5 4 7
168                 此时以i = 1为例
169                 本来leftFirstMaxPos[4] = 3, rightFirstMaxPos[2] = 3的
170                 计算完i = 1的贡献之后, leftFirstMaxPos[4] = 2, rightFirstMaxPos[2] = 4
171                 这一步更新相当于把1给砍掉了,剩下的数中2又是最小的数,于是2的左右最近大又正好是相邻的两个数 
172                 没错,非常像链表删除一个值的操作 
173                 leftFirstMaxPos就相当于静态链表的前驱数组
174                 rightFirstMaxPos就相当于静态链表的后继数组 
175         */ 
176         leftFirstMaxPos[Rpos1] = Lpos1;
177         rightFirstMaxPos[Lpos1] = Rpos1;
178     }
179     
180     printf("%lld", ans);
181     return 0;
182 }

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