最长公共子序列（Longest Common Subsequence）

描述

标签

• 字符串；
• 动态规划经典问题；

思路

变量说明：

• 字符串text1长度为：m
• 字符串text2长度为：n
• 二维数组dp：m行n列

递归方程：

• $dp[i][j]$表示 $text1$ 前 $i$ 个字符构成的子串与 $text2$ 前 $j$ 个字符构成的子串的最长公共子序列；
• 当 $text1[i]==text2[j]$ 时，$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1$；
• 当 $text1[i]!=text2[j]$ 时，$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$；

即：
$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j-1]+1& text1[i]==text2[j]\\ max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])& text1[i]!=text2[j]\end{array}$$

空间优化：

• 上述算法，空间复杂度为 $O(m\ast n)$；
• 通过递归方程可发现，dp只会用到当前行和上一行，不会用到其它行，因此，可以对其优化使其空间复杂度为 $O(n)$；
• 优化方法，参考代码，进行理解；

代码

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    if(text1.empty() || text2.empty())
        return 0;
        
    int m = text1.size();
    int n = text2.size();
    vector dp(n, 0);
    for(int i = 0; i < m; ++i)
    {
        int left_top = dp[0];
        if(text1[i] == text2[0])
            dp[0] = 1;
        for(int j = 1; j < n; ++j)
        {
            int temp = dp[j];
            dp[j] = text1[i] == text2[j] ? left_top + 1 : max(dp[j - 1], dp[j]);
            left_top = temp;
        }
    }
    return dp[n - 1];
}

练习题

LeetCode 1143. Longest Common Subsequence